PROBLEM OF THE WEEK - Čo vedúcim nedá spať :)
Zadanie POW 11 (od 14. 12. od 20:00)
Nájdite všetky prirodzené čísla a<=b<=c pre ktoré platíarctan(1/a)+arctan(1/b)+arctan(1/c)=pi/4.
Poradie k 16.11.09
Zadanie POW 10
V lichobežníku ABCD platí, že BC||AD, uhol ADC 57°, uhol DAB=33°, BC=6 a AD=10. Body M a N sú stredmi BC, respektíve AD.Určte uhol MNA.
Určte MN.
(Úloha je za dvojnásobok bodov ak pošlete obe časti)
Zadanie POW 9
Trojuholník ABC má veľkosti vnútorných uhlov alfa=45°, beta=60°.Vyjadrite dĺžky strán b,c pomocou dĺžky strany a.
Vyjadrite pomer dĺžok všetkých výšok trojuholníka $ABC$.
(Úloha je za dvojnásobok bodov ak pošlete obe časti)
Zadanie POW 8
Určte všetky dvojice prirodzených čísel x, y, ktoré vyhovujú rovnici 5x+7y^2=1600.Zadanie POW 7
Je daný pravouhlý rovnoramenný trojuholník ABC, ktorého odvesny sú CA=CB=2 dm. Okolo každého jeho vrcholu opíšeme kružnicu s polomerom 1 dm. Oblúky týchto kružníc oddelia z trojuholníka ABC tri kruhové výseky a z trojuholníka ostane obrazec, ktorého obsah označíme x. Vy počítajte, koľko percent je číslo x z obsahu daného trojuholníka.Zadanie POW 6
Pravouhlý trojuholní má odvesny 5 a 12 cm. Zistite, aký polomer má kružnica doň vpísaná.Zadanie POW 5
Daný je pravý uhol BCD, |BC|=|CD|=1. Zostrojme štvrťkružnicu (od bodu B po bod D) so stredom v bode C a polomerom 1 a na nej zvoľme bod A tak, aby |\uhol BCA|=60°. Nech X je taký bod na úsečke CD, že obsah útvaru ohraničeného kružnicou a uhlom BXA je práve polovica obsahu štvrťkruhu DCB. Zistite veľkosť |CX|.Zadanie POW 4
Koľko rôznych dvojíc prirodzených čísel, takých že y je rôzne od nuly, je riešením systému rovníc:6x.x.y+y.y.y+10x.y=0
2x.x.y+2x.y=0
Zadanie POW 3
Majme postupnosť An kde A1=2 a An=(A(n-1).A(n-1))/(A(n-2)) pre n>2. Ak vieme, že A2 a A5 sú kladné celé čísla a A5<2010, aké sú možné hodnoty A5?Zadanie POW 2
Úsečka AB dĺžky 12 cm je rozdelená bodom C v pomere 1:2. V jednej polrovine určenej priamkou AB sú zostrojené polkružnice AB, AC a CB. Vypočítajte polomer kružnice ktorá sa dotýka všetkych troch polkružníc.Zadanie POW 1
Karol má telefónne číslo $abcd$. Marián má telefónne číslo $mnopq$. Tieto čísla sú zaujímavé tým, že spolu obsahujú všetky číslice od 1 až po 9, každú číslicu práve raz. Pritom súčin týchto dvoch čísel je najväčší možný. Zistite, aké telefónne čísla majú Karol a Marián.Pravidlá
Každú nedeľu podvečer sa na tejto webovej stránke objaví úloha na daný týždeň a jej riešenie nám budete môcť poslať emailom.
Každú úlohu môžete poslať len raz. Prijatie riešenia ako aj potvrdenie správnosti, respektíve nesprávnosti vášho výsledku dostanete mailom na adresu z ktorej ste riešenie odoslali.
Súťaž nemá vekové ohraničenie a môže sa do nej zapojiť každý kto chce.
Riešenie úloh posielajte mailom na adresu
3 body môžete získať vtedy, ak pošlete správne riešenie počas prvého dňa od zverejnenia. (zväčša do pondelka večer)
2 body môžete získať vtedy, ak pošlete správne riešenie počas tohto týždňa ale nestihnete to urobiť medzi prvými piatimi riešiteľmi.
1 bod môžete získať za úlohu vtedy, ak úlohu vyriešite správne ale v čase, kedy už je zadaná nová úloha. A to v ľubovolnom týždni po zverejnení úlohy až do polnoci
27.12, kedy je koniec jesenej časti POW. To znamená, že ak nestihnete nejakú úlohu vypočítať v priebehu týždňa (lebo nemám na ňu čas, som chorý a pod.), ktorý je na to určený, ešte stále nie je nič stratené. Ak ju správne vypočítate neskôr, stále môžete získať 1 bod.
0 bodov získate vtedy, ak zašlete nesprávnu odpoveď.