Zostrojte rovnobežník $ABCD$, ak sú dané vrcholy $A$ a $C$ a päta $P$ kolmice z bodu $D$ na os vnútorného uhla $DAB$. Nezabudnite určiť, koľko riešení má úloha v závislosti od vzájomnej polohy bodov $A$, $C$ a $P$.

Jožko má doma na poličke v rade uložených desať šálok. Pod dvomi susednými šálkami je po jednej minci a žiadne iné mince sa pod šálkami nenachádzajú. Anička si hneď vybrala niekoľko šálok a opýtala sa, koľko mincí je dokopy pod nimi. Jožko jej však povedal, nech si radšej najprv napíše dve takéto otázky na papier a až potom jej na obidve pravdivo odpovie. Vie Anička takýmto spôsobom vždy zistiť, kde sa nachádzajú spomínané mince?

Daná je konečná množina $\mathcal{M}$ tetív kružnice $k$. Vieme, že každá tetiva z $\mathcal{M}$ prechádza stredom inej tetivy z $\mathcal{M}$. Dokážte, že všetky tetivy v $\mathcal{M}$ sú priemermi kružnice $k$.

Nájdite všetky prirodzené čísla $n$, pre ktoré je číslo $n^n - n$ deliteľné $24$. (Nestačí však iba popísať tieto čísla, ale treba dokázať, že všetky nájdené čísla vyhovujú a žiadne iné nevyhovuje.)

Jožko si z písmenkovej polievky vytiahol písmená $A$, $B$ a $C$ a položil ich na stôl do radu vedľa seba. Potom ich začal vymieňať takýmto spôsobom: Zobral dve a vymenil ich medzi sebou. Napríklad po prvej výmene ich mohol mať takto: $B$ $A$ $C$. Ferko sa ho pýta: „Počuj, vedel by si spraviť presne $57$ výmen tak, aby si mal opäť $A$ $B$ $C$ v tomto poradí? A potom sa ho pýta Marek: „A keby si mal písmenká $M$ $A$ $R$ $E$ $K$? Poraďte Jožkovi, aby nestratil Ferkove ani Markove kamarátstvo.

Ostrouhlý rovnoramenný trojuholník $ABC$ so základňou $AB$ je vpísaný do kružnice $k$. Vnútri kratšieho z oblúkov $AB$ kružnice $k$ leží bod $D$. Nech $k_1$, resp. $k_2$, je kružnica prechádzajúca bodom $D$ a dotýkajúca sa priamky $CA$ v bode $A$, resp. priamky $CB$ v bode $B$.

1. Dokážte, že druhý priesečník kružníc $k_1$ a $k_2$ (rôzny od bodu $D$) leží na priamke $AB$.
2. Dokážte, že súčet polomerov kružníc $k_1$ a $k_2$ je rovný polomeru kružnice k práve vtedy, keď je trojuholník $ABC$ rovnostranný.

Daný je konvexný päťuholník $ABCDE$. Trojuholníky $ABC$, $ABD$, $ACD$ a $ADE$ majú rovnaký obsah $S$. Aký obsah má trojuholník $BCE$?

Na tabuli je napísaná jednotka. Ak je číslo na tabuli párne, môžeme ho zotrieť a napísať na tabuľu jeho polovicu. Hocikedy môžeme tiež číslo $x$ na tabuli zotrieť a napísať tam $3x + 1$ (bez ohľadu na to, či $x$ bolo párne alebo nie).

1. Najmenej koľko operácií treba spraviť, aby sme na tabuli získali číslo $5$? (Zotretie čísla z tabule a napísanie nového chápeme ako jednu operáciu.)
2. Zistite, ktoré prirodzené čísla vieme získať na tabuli konečnou postupnosťou popísaných operácií.

Prirodzené čísla od $1$ do $999999$ sú rozdelené do dvoch skupín: na tie, ktorých najbližší štvorec prirodzeného čísla je nepárny a tie, ktorých najbližší štvorec prirodzeného čísla je párny (ak je samotné číslo štvorcom prirodzeného čísla, tak najbližší štvorec k nemu je ono samo). Súčet čísel v ktorej skupine je väčší?

Daný je štvorec $ABCD$. Zvoľme bod $E$ vnútri strany $AB$ a označme $P$ priesečník úsečky $DE$ s uhlopriečkou $AC$. Bod $F$ je priesečníkom kolmice na priamku $DE$ v bode $P$ s priamkou $BC$. Dokážte, že $|AE| + |FC| = |EF|$.

Nájdite všetky funkcie $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ také, že pre každú trojicu reálnych čísel $x$, $y$, $z$ platí $f(x + f(y + z)) + f(f(x + y) + z) = 2y$. (Ak ste sa s úlohou takéhoto typu ešte nestretli, odporúčame vám prečítať si text o funkcionálnych rovniciach od Hanky Budáčovej, ktorý môžete nájsť na adrese kms.sk/∼mazo/matematika/funkcionalne rov.pdf).

Nech $a > b > 1$ sú také celé čísla, že $a + b$ delí $ab + 1$ a zároveň $a − b$ delí $ab − 1$. Dokážte, že potom $a \leq b \sqrt3$.