Vo vrcholoch $40$-uholníka sú ľubovoľne vpísané čísla od $1$ do $40$, každé práve raz. Koľko najviac z nich môže byť deliteľných svojím susedom v smere hodinových ručičiek?

Nájdite všetky reálne čísla $a$, pre ktoré: $$a^{2024}-2a^{2023}+2a^{2022}-2a^{2021}+\dots +2a^2 -2a +1 =0.$$

V lichobežníku $ABCD$ je strana $AB$ rovnobežná so stranou $CD$ a pri vrcholoch $A$ a $D$ sú pravé uhly. Na úsečke $BC$ vyznačíme bod $E$ tak, aby platilo $|CE| = |EB| = |AB|$. Dokážte, že veľkosť uhla $BED$ je trojnásobkom veľkosti uhla $CDE$.

Alica a Beáta hrajú hru. Na začiatku hry je na stole $n\geq 2$ kamienkov a v prvom ťahu si zo stola Alica vezme nejaký počet kamienkov (ale nie všetky). Následne sa striedajú v ťahoch, pričom vždy môže hráč zobrať len počet kamienkov, ktorý je menší alebo rovný počtu kamienkov, ktoré zobral hráč pred ním. Hru vyhráva hráč, ktorý zo stola zoberie posledný kamienok. V závislosti od $n$ určte, ktorý hráč má víťaznú stratégiu.

$64$ škriatkov sa hrá so šachovnicou $64 \times 64$ políčok. Postupne si vyberajú po jednom políčku, až kým nie sú rozdelené všetky políčka (teda na konci má každý z nich vybraných presne $64$ políčok). Dokážte, že bez ohľadu na to, ako si škriatkovia políčka vyberajú, vždy bude existovať riadok alebo stĺpec, v ktorom bude mať aspoň $8$ rôznych hráčov po aspoň jednom políčku.

Majme trojuholník $ABC$. Na strane $AC$ je bod $D$ a os uhla $BAC$ pretína úsečku $BD$ v bode $X$ a úsečku $BC$ v bode $Y$ tak, že platí $AX:XY = 3:1$ a $BX:XD = 5:3$. Určte veľkosť uhla $ACB$ pomocou veľkosti uhla $BAC$.

Nech prvých $5$ členov postupnosti je $1, 2, 3, 4$ a $5$. Od šiesteho člena ďalej platí, že každý člen postupnosti sa rovná súčinu všetkých predchádzajúcich členov mínus $1$. Dokážte, že súčin prvých $70$ členov postupnosti sa rovná súčtu ich druhých mocnín.

Paťo má na tabuli napísané všetky celé čísla od $1$ do $N$. V jednom kroku zmaže jedno číslo na tabuli a spolu s ním zmaže aj všetky jeho delitele, ktoré boli na tabuli, a napíše všetky jeho kladné delitele, ktoré na tabuli neboli. Napríklad, ak sú na tabuli čísla $1$, $2$, $5$ a $6$, tak po zmazaní $6$ budú na tabuli $3$ a $5$.

1. Dokážte, že pre ľubovoľné \(N\) sa Paťo vie dostať do stavu, keď na tabuli nebude napísané žiadne číslo.
2. Dokážte, že bez ohľadu na \(N\) a na to, ako si Paťo čísla vyberá, vždy v konečnom počte krokov dôjde do stavu, keď na tabuli nebude napísané žiadne číslo.

Na začiatku hry máme $3$ krabice, v ktorých je postupne $2023, 2024$ a $2025$ kameňov. Anna a Boris sa striedajú v ťahoch, Anna začína. Ten, kto je na ťahu si vyberie $2$ krabice, odstráni z nich všetky kamene a potom rozdelí kamene z tretej krabice do všetkých troch krabíc:

1. rovnomerne (tak, aby rozdiel počtov kameňov v rôznych krabiciach bol najviac $1$)
2. ľubovoľne

Nech $O$ je stred opísanej kružnice trojuholníka $ABC$. Opíšme bodom $AOB$ kružnicu $k$. Nech je druhý prienik priamky $AC$ s $k$ bod $P$ a druhý prienik priamky $CB$ s $k$ $Q$ tak, že body $P$ a $Q$ ležia mimo trojuholníka $ABC$. Dokážte, že priamka $CO$ je kolmá na priamku $PQ$.

Nájdite všetky kvadratické funkcie $f$, pre ktoré existujú celé čísla $m$, $n$ také, že: $$f(m)=f(6m-1),$$ $$f(n)=f(3-15n).$$

Majme postupnosť reálnych čísel, pre ktorú platí, že $a_0=1$ a \[a_{n+1}=\frac{7a_n+\sqrt{45{a_n}^2-36}}{2}\] pre každé nezáporné celé číslo $n$. Dokážte, že každý člen tejto postupnosti je kladné celé číslo.