Zadania seminára STROM, 44. ročník - Zimný semester


1. Baník sa nachádza na kocke. Každú minútu sa rozhodne, či prejde do niektorého vrcholu, ktorý susedí hranou s vrcholom, kde sa práve nachádza, alebo sa prevŕta do vrcholu, ktorý je presne oproti. Baník sa vždy rozhodne náhodne s rovnakou pravdepodobnosťou pre každú voľbu nasledujúceho vrcholu. Aká je pravdepodobnosť, že sa po $2019$ minútach bude nachádzať vo vrchole, ktorý je presne oproti počiatočnému vrcholu?
2. Dokážte, že pre všetky $x \in \mathbb{R}$, pre všetky celé kladné $n$ a pre ľubovoľné rozdelenie znamienok $+$ a $-$ vo výrazoch $\pm$ platí $$x^{2n} \pm x^{2n-1} + x^{2n-2} \pm x^{2n-3} + x^{2n-4} \pm \dots \pm x + 1 > \frac{1}{2}.$$
3. Majme deku s rozmermi $3 \times 3$ metre ofarbenú troma farbami. Ukážte, že vieme zapichnúť dvojzubec do deky tak, že hroty dvojzubca prepichnú deku na miestach s rovnakou farbou. Predpokladáme, že hrot je jeden bod a že vzdialenosť hrotov dvojzubca je $1\ \textrm{cm}$.
4. Dokážte, že ak $a$, $b$ sú korene polynómu $x^2 - 8x + 1$, tak potom pre všetky nezáporné celé čísla $n$ platí, že $a^n +b^n$ je celé číslo nedeliteľné siedmimi.
5. Daná je úsečka $PQ$ a kružnica $k$ s priemerom aspoň $|PQ|$. Tetiva $AB$ taká, že $|AB|=|PQ|$, sa hýbe po kružnici $k$. Pre každú polohu tetivy $AB$ označíme ako $T$ priesečník osí úsečiek $AP$ a $BQ$, ak existuje práve jeden. Dokážte, že všetky možné body $T$ ležia na jednej priamke.
6. Každý bod v rovine s celočíselnými súradnicami je ofarbený buď červenou alebo modrou farbou tak, aby boli splnené podmienky:
  1. Na úsečke spájajúcej červené body neleží žiaden modrý bod.
  2. Ak majú dva modré body vzdialenosť $2$, potom bod uprostred medzi nimi je modrý.
Dokážte, že z ľubovoľného červeného bodu sa vieme dostať do ľubovoľného iného tak, že nemusíme prejsť cez žiaden modrý bod, pričom kroky vieme robiť len vodorovne a zvislo, vždy o vzdialenosť jedna.

1. Určte, pre ktoré kladné celé čísla $n$ existuje tabuľka $n\times n$ obsahujúca $n^2$ kladných celých čísel, pre ktorú platí, že pre ľubovoľnú voľbu $i$ a $j$ (môžu nadobúdať hodnoty od $1$ po $n$) je v políčku v $i$-tom riadku a $j$-tom stĺpci počet všetkých hodnôt $j$, ktoré sa vyskytujú v $i$-tom stĺpci.
2. Mihál nemá rád čísla s prívlastkom. Má však rád také kladné celé čísla $m$, pre ktoré je každé z čísel $m$, $m+1$, $m+2$ a $m+3$ deliteľné svojim ciferným súčtom. Dokážte, že ak posledná cifra v takomto čísle je $8$, tak potom predposledná cifra tohto čísla je nutne $9$.
3. Majme štvorec $ABCD$, ktorý má nad stranou $AB$ zostrojenú polkružnicu vo vnútri štvorca $ABCD$. K tejto polkružnici veďme dotyčnicu prechádzajúcu bodom $C$ rôznu od priamky $CB$ a označme jej bod dotyku $F$. Prienik úsečky $BD$ a polkružnice označíme $E$. Aký je obsah trojuholníka $BEF$, ak je dĺžka strany štvorca $ABCD$ rovná $10$?
4. V odľahlej časti mesta stojí niekoľko rovnakých veží s kruhovým pôdorysom. Vandali sa rozhodujú, kde budú sprejovať, pričom na mape si vyznačia bod na obvode veže práve vtedy, keď z daného miesta nevidno žiadnu inú vežu. Dokážte, že celková dĺžka vyznačených oblastí je rovná obvodu jednej veže.
5. Dvaja hráči hrajú piškvorky na nekonečne veľkom trojuholníkovom papieri a striedajú sa v ťahoch. Ten, kto je na ťahu, vždy nakreslí svoju značku do niektorého voľného políčka. Vyhrá hráč, ktorý má ako prvý neprerušovanú rovnú radu (smerujúcu jedným z troch možných smerov v mriežke) aspoň $n$ svojich znakov, kde $n$ je nejaké prirodzené číslo. V závislosti na $n$ určte, kto má vyhrávajúcu alebo neprehrávajúcu stratégiu.
6. Nájdite všetky funkcie $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ také, že pre všetky reálne čísla $x, y$ platí: $f(xy+f(x))=xf(y)$.

Aktuality

Koniec letného semestra STROMu
Letný semester STROMu nám skončil a na jeseň sa môžete tešiť na svoje vytúžené sústredenie. Pozrite si náš časopis s najnovším poradím ;)
(28. máj 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Po prvej sérii
už máme :) Ale nestrácajte čas a mrknite hneď opravené riešenia, časopis a druhú sériu. Sústredko sa blíži - už 3.2. začíname..
(20. november 2018)

Nový ročník
Nové príklady a časopis v krásnom skoro jubilejnom 43. ročníku je už na svete, tak počítajte, tešíme sa na pekné riešenia :)
(13. september 2018)

Dobojované :)
Náš letný semester sa skončil. Už je rozhodnuté, kto sa môže tešiť sa sústredko a kto to môže skúsiť zas nabudúce. Tešíme sa na vás v septembri ;)
(27. máj 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.