Zadania seminára STROM, 41. ročník - Letný semester


1. Štvorec s obsahom $5$ je pokrytý $9$ mnohouholníkmi s obsahom $1$. Dokážte, že existujú dva mnohouholníky, ktorých prienik má obsah aspoň $1/9$.
2. Na tabuli sú napísané čísla $1,\ 2,\ \dots,\ 17$. Čísla zotierame tak, že z nezotretých čísel si vyberieme ľubovoľné číslo $k$ a zotrieme všetky delitele čísla $k+17$. Je možné zmazať všetky čísla?
3. Rovnostranný trojuholník je rozdelený na $n^2$ zhodných trojuholníkov (napr. obrázok pre $n=4$). Niektoré z nich sú očíslované číslami od $1$ do $m$ tak, že susedné čísla sú vpísané do susedných trojuholníkov - majú spoločnú stranu. Dokážte, že $m \leq n^2 - n + 1$.
uloha3
4. Biologička Janka pozoruje chameleóna, ktorý chytá muchy. Chameleón má však prešpekulované pravidlá, ako bude pri chytaní múch oddychovať. Pred prvou chytenou muchou oddychuje $1$ minútu. Pred každou $2m$-tou muchou oddychuje toľko minút, ako oddychoval pred $m$-tou muchou. Pred každou $(2m+1)$-ou muchou oddychuje o minútu viac, ako oddychoval pred $m$-tou muchou. Keď skončí niekoľko minútový oddych, chameleón okamžite chytí muchu a opäť začne oddychovať. Zistite:
  • Koľkátu muchu chytil chameleón po tom, čo prvý krát oddychoval $7$ minút bez chytania?
  • Po akom dlhom oddychu chytil chameleón svoju $2047$-mu muchu?
5. Je daný tetivový päťuholník $ABCDE$ taký, že $|AB| = |BC|$. Bod $P$ je priesečník priamok $BE$ a $AD$ a bod $Q$ je priesečník priamok $CE$ a $BD$. Priamka určená bodmi $PQ$ pretne opísanú kružnicu v bodoch $X,\ Y$. Dokážte $|BX| = |BY|$.
6. Nech $a,b,c$ sú kladné reálne čísla také, že $abc=1$. Dokážte, že $$\frac{a+b+c+3}{4}\ge\frac1{a+b}+\frac1{a+c}+\frac1{c+b}.$$

1. Dokážte, že ak $p$, $q$ sú kladné celé čísla čísla, tak kladným celým číslom je aj $$\frac{10^{p+q}+2\cdot10^q+2\cdot10^p+4}{36}.$$
2. Dokážte, že v ľubovoľnom konvexnom mnohouholníku (okrem rovnobežníka) možno vybrať tri strany tak, aby priamky nimi určené tvorili trojuholník, v ktorom je daný mnohouholník obsiahnutý.
3. V každom vrchole štvorca máme $1$ kamienok a v každom kroku môžeme previesť nasledujúcu operáciu: z ľubovoľného vrcholu zoberieme niekoľko kamienkov (najviac toľko, koľko ich tam je) a pridáme dvakrát viac kamienkov na niektorý zo susedných vrcholov. Je to možné robiť tak, aby sme na konci vo vrcholoch dostali (zaradom po obvode) $2016$, $2015$, $2017$ a $2016$ kamienkov?
4. Nájdite všetky kladné celé čísla $n$, ktoré sa nedajú zapísať v tvare $n=[a,b]+[b,c]+[c,a]$, pričom $a,\ b,\ c$ môžu byť ľubovoľné kladné celé čísla. Pozn: $[a,b]$ označuje najmenší spoločný násobok čísel $a,b$.
5. Na odvesnách $AC$ a $BC$ pravouhlého trojuholníka $ABC$ sú zvolené postupne body $K$ a $L$ a na prepone bod $M$ tak, že platí $|AK| = |BL| = a$, $|KM| = |LM| = b$ a uhol $KML$ je pravý. Dokážte, že $a = b$.
6. Univerzálnou postupnosťou čísel $1,\ 2,\ \dots, n$ nazveme takú (konečnú) postupnosť týchto čísel, že vyčiarknutím niektorých jej členov z nej dostaneme ľubovoľnú permutáciu týchto čísel (napr. $1,\ 2,\ 3,\ 1,\ 2,\ 3,\ 1$ je univerzálna postupnosť čísel $1,\ 2,\ 3$, lebo ľahko preveríme, že všetky permutácie, t.j. $1,2,3;$ $1,3,2;$ $2,1,3;$ $2,3,1;$ $3,1,2;$ $3,2,1$ vzniknú vyčiarknutím niektorých jej členov). Nájdite najkratšiu univerzálnu postupnosť čísel $1$, $2$, $3$ a potom aj čísel $1$, $2$, $3$, $4$ a dokážte, že kratšie neexistujú.

Aktuality

Je dobojované..
.. na výsledkoch letnej časti 41. ročníka už nič nezmeníte. Radšej mrknite do časáku, vstrebajte informácie a tešíme sa v septembri ;)
(27. máj 2017)

1. séria opravená
Prvá séria letného semestra je opravená. Na stránke nájdete už aj nový ČASOPIS.
(10. apríl 2017)

Letný semester začína
Termín prvej série letného semestra je už 27.3., tak hoďte očkom na príklady v časopise.
(26. február 2017)

TMM 2017
TMM sa tohto roku uskutoční 12. - 20. 8. 2017. Informácie nájdete v POZVÁNKE a prihlásiť sa môžete TU
(01. február 2017)

Sústredenie STROMu
Riešenia opravené, pozvánky rozposlané a my už čakáme, kým sa prihlásite na tomto odkaze na zimné sústredenie.
(15. december 2016)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu