Zadania seminára STROM, 43. ročník - Letný semester


1. Dokážte, že $\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}$ nie je racionálne číslo pre žiadne celočíselné $n$.
2. Nech $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ a $z$ sú nezáporné reálne čísla také, že $a^2 + b^2 = c^2$ a $x^2+y^2=z^2$. Dokážte, že potom platí $(a+x)^2 + (b+y)^2 \leq (c+z)^2$ a zistite, kedy nastáva rovnosť.
3. Máme šachovnicu $n\times n$. Niektoré políčka (okrem ľavého horného a pravého dolného rohu) nafarbíme na červeno tak, že šachový kôň sa nevie dostať z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu bez toho, aby musel stúpiť na červené políčko. Zistite, pre ktoré $n$ platí, že pri ľubovoľnom takomto ofarbení vieme nájsť tri po sebe idúce políčka na nejakej diagonále (berieme do úvahy všetky diagonály, nielen uhlopriečky štvorca) také, že aspoň dve z nich sú červené.
4. Lichobežník $ABCD$ je vpísaný do kružnice tak, že základňa lichobežníka $AB$ je jej priemer. Označme $E$ priesečník uhlopriečok lichobežníka $ABCD$, $S$ stred úsečky $AB$ a zostrojíme bod $X$ tak, aby bol $ASEX$ rovnobežník. Ukážte, že $|XA|=|XD|$.
5. Dokážte, že ak funkcia $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ spĺňa nerovnosti $f(x)\leq x$ a $f(x+y) \leq f(x)+f(y)$ pre všetky $x$, $y$ reálne čísla, potom $f(x)=x$ pre všetky reálne $x$.
6. V škole sa niektoré dvojice žiakov kamarátia a niektoré nie (kamarátstvo je obojstranné). Tímom nazývame skupinu práve $20$ ľudí, v ktorej sa všetci navzájom kamarátia. Každý žiak je členom nejakého tímu, ale keď zrušíme ľubovoľné kamarátstvo, tak vždy bude existovať aspoň jeden žiak, ktorý nie je v žiadnom tíme. Tím, ktorý obsahuje žiaka, ktorý má kamarátov len v tomto tíme, nazveme "tím so stredom" Dokážte, že pre ľubovoľnú dvojicu žiakov, ktorí sa kamarátia, existuje tím so stredom, ktorého sú obaja členmi.

1. V tabuľke $25\times 25$ sú čísla $+1$ a $-1$. Nech $a_i$ je súčin čísel v $i$-tom riadku a $b_j$ je súčin čísel v $j$-tom stĺpci. Dokážte, že súčet $a_1+b_1+\dots+a_{25}+b_{25}$ nie je rovný nule.
2. Ukážte, že neexistuje aritmetická postupnosť s kladnou diferenciou s práve $3$, nie nutne po sebe nasledujúcimi, členmi z nekonečnej geometrickej postupnosti ${\{2^k\}}^\infty_{k=0}$.
3. V lichobežníku $ABCD$ sú $AB$ a $CD$ rovnobežné a navyše platí $|BC| = |AB|+|CD|$. Nech $F$ je stredom $AD$. Nájdite všetky možné veľkosti uhla $BFC$.
4. Máme trojuholník $ABC$ a na strane $AB$ vyznačíme bod $S$ tak, aby $|AS|=|BS|$. Následne označme $I_1$ stred kružnice vpísanej trojuholníku $CAS$ a $I_2$ stred kružnice vpísanej trojuholníku $CBS$. Označme $k_1$ kružnicu opísanú trojuholníku $AI_1C$ a $k_2$ kružnicu opísanú trojuholníku $BI_2C$. Dokážte, že $k_1$ a $k_2$ sa okrem bodu $C$ pretínajú na priamke $CS$.
5. Nájdite všetky trojice celých čísel $(a,\,b,\,c)$ také, že $3^a+3^b+3^c$ je druhou mocninou celého čísla.
6. Nájdite všetky funkcie $f(x)$ na reálnych číslach spĺňajúce $f(t^2 + u) = t\cdot f(t) + f(u)$ pre všetky reálne čísla $t$ a $u$.

Aktuality

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Po prvej sérii
už máme :) Ale nestrácajte čas a mrknite hneď opravené riešenia, časopis a druhú sériu. Sústredko sa blíži - už 3.2. začíname..
(20. november 2018)

Nový ročník
Nové príklady a časopis v krásnom skoro jubilejnom 43. ročníku je už na svete, tak počítajte, tešíme sa na pekné riešenia :)
(13. september 2018)

Dobojované :)
Náš letný semester sa skončil. Už je rozhodnuté, kto sa môže tešiť sa sústredko a kto to môže skúsiť zas nabudúce. Tešíme sa na vás v septembri ;)
(27. máj 2018)

Sme v polčase!
Ešte nie je dobojované, preto rýchlo pozrite výsledky prvého polčasu a pustite sa do boja, každý má ešte šancu vyhrať a zúčastniť sa skvelého septembrového sústredenia :)
(16. apríl 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.