Zadania seminára STROM, 43. ročník - Zimný semester


1. Dokážte, že ak sú $a$, $b$, $c$, $d$ reálne čísla a $ac=2(b+d)$, tak má aspoň jedna z rovníc $x^2 + ax +b=0$ a $x^2+cx+d=0$ reálne korene.
2. Majme trojuholník $ABC$, kde $AB$ je najdlhšia jeho strana. Zvoľme bod $D$ tak, aby sa nachádzal na opačnej polpriamke k $BA$, teda $B$ je medzi bodmi $A$ a $D$ a zároveň platí $|BC|=|BD|$. Dokážte, že trojuholník $ACD$ je tupouhlý.
3. Máme $n$ bodov v rovine. Môžeme urobiť to, že dva z bodov presunieme do ich stredu. Zistite, pre ktoré $n$ je možné vždy presúvať dané body tak, aby všetky splynuli (boli v jednom bode).
4. Nájdite všetky polynómy $P(x)$ s reálnymi koeficientami, ktoré spĺňajú $(x^2 - 6x + 8)\cdot P(x) = (x^2 + 2x)\cdot P(x-4)$ pre všetky reálne čísla $x$.
5. Majme $n^2$ bodov rozmiestnených do mriežky $n\times n$. Z nich náhodne vyberieme $2n$ bodov. Dva vybrané body sú spojené zelenou úsečkou, ak sú v rovnakom riadku, a červenou úsečkou, ak sú v rovnakom stĺpci. Dokážte, že existuje uzavretá lomená čiara s vrcholmi vo vybraných bodoch a so stranami tvorenými týmito úsečkami taká, že sa farby jej strán striedajú.
6. Prirodzené číslo $n$ nazveme chutné, ak pre ľubovoľné dve čísla $a$, $b$ také, že $a+b=n$ platí, že aspoň jeden zo zlomkov $\frac ab,\frac ba$ má konečný desatinný rozvoj. Existuje nekonečne veľa chutných čísel? Svoje riešenie odôvodnite.

1. Nech $ABCD$ je štvoruholník, v ktorom existuje kružnica, ktorá prechádza stredmi všetkých strán nášho štvoruholníka. Dokážte, že $AC$ a $BD$ sú na seba kolmé.
2. Máme riadok, v ktorom je 1000 čísel. Pod tento riadok pridáme ďalší a pod každým číslom $a$ je hodnota $f(a)$, kde $f(a)$ je počet výskytov čísla $a$ v predchádzajúcom riadku. Takto postupne pridávame ďalšie riadky. Dokážte, že nakoniec dostaneme pod sebou dva rovnaké riadky.
3. Je daná rovnica $x!y!z!=t!$, kde $x$, $y$, $z$, $t$ sú prirodzené čísla väčšie ako jedna. Ukážte, že existuje nekonečne veľa štvoríc $(x,y,z,t)$, ktoré spĺňajú túto rovnicu.
Pozn.: $n!$ je číslo $n\cdot (n-1)\cdot \dots \cdot 2\cdot 1$.
4. Majme $n$ nenulových čísel, ktorých súčet je 0. Ukážte, že je možné ich očíslovať tak, aby platila nerovnosť: $$a_1a_2 + a_2a_3 + \dots + a_na_1 < 0.$$
5. Dokážte, že ľubovoľné celé číslo môže byť napísané ako súčet 5 tretích mocnín celých čísel.
6. Nech $ABC$ je ostrouhlý trojuholník s $|AB|<|AC|$. Nech $M$, $N$ sú postupne stredy strán $AB$ a $AC$ a nech $AD$ je výška v tomto trojuholníku. Na úsečke $MN$ zvolíme taký bod $K$, že $|BK|=|CK|$. Polpriamka $KD$ pretína kružnicu opísanú trojuholníku $ABC$ v bode $Q$. Dokážte, že body $C$, $N$, $K$, $Q$ ležia na jednej kružnici.

Aktuality

Nový ročník
Nové príklady a časopis v krásnom skoro jubilejnom 43. ročníku je už na svete, tak počítajte, tešíme sa na pekné riešenia :)
(13. september 2018)

Dobojované :)
Náš letný semester sa skončil. Už je rozhodnuté, kto sa môže tešiť sa sústredko a kto to môže skúsiť zas nabudúce. Tešíme sa na vás v septembri ;)
(27. máj 2018)

Sme v polčase!
Ešte nie je dobojované, preto rýchlo pozrite výsledky prvého polčasu a pustite sa do boja, každý má ešte šancu vyhrať a zúčastniť sa skvelého septembrového sústredenia :)
(16. apríl 2018)

A je to tu!
Čerstvučké príklady a nový výtlačok nášho skvelého časopisu pre najstarších je už na svete. Tak hurá do riešenia, prvý termín je už o mesiac.
(19. február 2018)

Dobojované!
Tešíme sa, že sme to všetci úspešne zvládli, máme opravené, obodované a už sa tešíme na sústredko s najlepšími z vás, ktoré bude 4.-9.2.2018 v Danišovciach. Dúfame, že v hojnom počte :)
(19. december 2017)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.