Nájdite všetky prirodzené čísla $n$, pre ktoré sa ciferný súčet čísla $2^n$ rovná 5.

Označme $S$ obsah štvoruholníka $ABCD.$ Dokážte, že $$4S \leq (|AB| + |CD|) (|BC| + |DA|).$$ Pre ktoré štvoruholníky nastáva rovnosť?

Máte 14 mincí, pričom 7 z nich je pravých a 7 falošných. Neviete, ktoré sú ktoré. Všetky falošné mince vážia rovnako a všetky pravé mince vážia rovnako. Vieme, že falošné mince sú ľahšie ako pravé, no jediný, kto vie tento nepatrný rozdiel rozpoznať, je robot Karol. Ak dáte Karolovi do každej z jeho dvoch rúk ľubovoľný počet mincí a potom ho kopnete, Karol ich odváži a

• ak sú hmotnosti mincí v jeho rukách rovnaké, tak Karol povie, že sú rovnaké a mince si môžete zobrať;
• ak sú hmotnosti rôzne, Karol vám povie, v ktorej ruke je hmotnosť väčšia, dá si náhodnú mincu z „ťažšejÿ ruky do vrecka a zvyšné mince si môžete zobrať.

V rovine je daných 50 bodov, z ktorých žiadne tri neležia na jednej priamke. Každý z týchto bodov má jednu zo štyroch daných farieb. Dokážte, že vieme zvoliť jednu z týchto štyroch farieb tak, že sa dá nájsť aspoň 130 nerovnoramenných trojuholníkov, ktorých všetky vrcholy majú zvolenú farbu.

Daný je rovnoramenný pravouhlý trojuholník $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $C.$ Na stranách $CA$ a $CB$ sú postupne dané body $D$ a $E$ tak, že $|CD| = |CE|.$ Kolmice z bodov $D$ a $C$ na priamku $AE$ pretínajú priamku $AB$ postupne v bodoch $K$ a $L.$ Dokážte, že bod $L$ je stredom úsečky $KB.$

Rozhodnite, či existuje prvočíslo $p$ také, že $7p + 3^p − 4$ je druhou mocninou celého čísla.

a) Rozhodnite, či sa nejaké prvočíslo dá napísať ako súčet aspoň troch po sebe idúcich kladných celých čísel.
b) Dokážte, že každé nepárne prvočíslo sa dá práve dvomi spôsobmi zapísať ako súčet aspoň troch po sebe idúcich celých čísel.

Dokážte, že z ľubovoľných 50 navzájom rôznych prvočísel je vždy možné vybrať 13 prvočísel tak, že rozdiel každých dvoch z nich je deliteľný piatimi.

V trojuholníku $ABC$ stredná priečka rovnobežná so stranou $AB$ pretína výšky trojuholníka $ABC$ vedené z bodov $A$ a $B$ postupne v bodoch $D$ a $E.$ Stredná priečka rovnobežná so stranou $AC$ pretína výšky trojuholníka $ABC$ vedené z bodov $A$ a $C$ postupne v bodoch $F$ a $G.$ (Výšky berieme ako priamky.) Dokážte, že priamky $DC,$ $BF$ a $GE$ sú rovnobežné.

Abeceda v marťanskom jazyku sa skladá z písmen $A$ a $O.$ Každé dve slová rovnakej dĺžky sa od seba líšia aspoň na troch miestach. Dokážte, že počet slov dĺžky $n$ nie je väčší ako $2n/(n + 1).$

V danom nerovnostrannom trojuholníku $ABC$ pre dĺžky strán platí $a + c = 2b.$ Označme $I$ stred vpísanej a $O$ stred opísanej kružnice trojuholníka $ABC.$

• a) Označme $K$ priesečník priamok $AC$ a $BI.$ Body $D$ a $E$ sú stredmi strán $BC$ a $AB$ (v tomto poradí). Dokážte, že $I$ je stredom opísanej kružnice trojuholníka $DKE.$
• b) Dokážte, že priamky $OI$ a $BI$ sú na seba kolmé.

Nájdite najmenšie reálne číslo $K$ také, že nerovnosť $$a^2 + b^2 + c^2 < K$$ platí pre každú trojicu reálnych čísel $a, b, c$ takú, že $a, b, c$ sú dĺžky strán trojuholníka s obvodom $1.$