Zadania seminára STROM, 34. ročník - Letný semester


1. Gaba a Katka našli kopu čokolád. Celková váha všetkých čokolád je $S$ kg a najťažšia z nich má $M$ kg. Dievčatá pri delení čokolády postupujú takto: rozdelia všetky čokolády do dvoch kôpok a potom lósom rozhodnú, ktorá kôpka ktorej z nich pripadne.
  • a) Dokážte, že menšia kôpka má pri hocijakom rozdelení hmotnosť nanajvýš $S-M$.
  • b) Ukážte, že dievčatá vedia čokolády rozdeliť na dve kôpky tak, že hmotnosť menšej kôpky bude aspoň $(S-M)/2$.
2. Máme kocku $ABCDEFGH$ s hranou dĺžky $1$ (zvyčajné označenie; vrcholy $A$ a $C$ sú koncovými vrcholmi stenovej uhlopričeky). Uvažujeme cesty v tvare lomených čiar, ktorých úsekmi sú hrany našej kocky (cesta môže po jednej hrane prechádzať aj viackrát). Ktorých ciest dĺžky $2010$ začínajúcich v bode $A$ je viac: tých, čo končia v $A$, alebo tých, čo končia v $C$? Svoju odpoveď podrobne zdôvodnite.
3. Ciferník hodín pozostáva z pravidelného dvanásťuholníka $A_1A_2\dotsb A_{12}$ vpísaného do kružnice s polomerom $1$. Označme $P$ priesečník priamok $A_1A_6$ a $A_4A_8$ a $k$ kružnicu s tetivou $A_1A_8$ a polomerom $1$ (rôznu od kružnice opísanej nášmu dvanásťuholníku). Dokážte, že
  • a) bod $P$ leží na kružnici $k$;
  • b) úsečky $PA_5$ a $A_1A_2$ majú rovnakú dĺžku;
  • c) stred kružnice $k$ leží na úsečke $A_8A_{12}$.
4. Nájdite všetky postupnosti $a_1,a_2,\dotsb ,a_{10}$ zložené z desiatich prirodzených čísel, ktoré majú obe nasledujúce vlastnosti:
  • pre každé $i\in \{ 1,2,\dotsb ,10\}$ platí $1\leq a_i \leq 100$;
  • ak $i,j \in \{ 1,2,\dotsb ,10\}$, tak číslo $i+j$ delí $a_i+a_j$.

1. Marek navrhol Tomášovi, aby si vybral nejaké trojciferné číslo $\overline{abc}$. Potom ho požiadal, aby mu povedal súčet čísel $\overline{acb}$, $\overline{bac}$, $\overline{bca}$, $\overline{cab}$ a $\overline{cba}$. Vie Marek vždy z tohoto súčtu zistiť, ktoré číslo si Tomáš vybral? Svoju odpoveď podrobne zdôvodnite. (Symbolom $\overline{xyz}$ označujeme pozičný zápis čísla v desiatkovej sústave, teda $z$ označuje cifru na mieste jednotiek, $y$ na mieste desiatok a $x$ na mieste stoviek.)
2. Dvaja hráči, Mazo a Jakub, striedavo píšu na tabuľu usporiadané dvojice nezáporných celých čísel; začína Mazo. Ak chce niekto napísať na tabuľu dvojicu $(a, b)$, musí pre ľubovoľnú už napísanú dvojicu $(c, d)$ platiť $a < c$ alebo $b < d$. Prehráva hráč, ktorý je donútený napísať na tabuľu dvojicu $(0, 0)$.
a) Ukážte, že takáto hra vždy skončí po konečnom počte ťahov, bez ohľadu na to, ako Mazo s Jakubom hrajú.
b) Nájdite a popíšte víťaznú stratégiu pre jedného z hráčov.
(Víťazná stratégia je postup, ktorý zabezpečí hráčovi výhru pri akejkoľvek hre protihráča. Samozrejme, pri popise tohto postupu treba brať ťahy protihráča do úvahy.)
3. Daný je rovnostranný trojuholník $ABC$. Na jeho stranách $CA$, $AB$, $BC$ ležia v tomto poradí body $M$, $N$ a $P$ tak, že uhol $CMP$ je pravý a platí: $$|\angle CBM| = \frac{1}{2} |\angle AMN| = \frac{1}{3}|\angle BNP|$$ a) Dokážte, že trojuholník $NMB$ je rovnoramenný.
b) Zistite veľkosť uhla $CBM$.
4. Zaoberajme sa reálnymi funkciami $f$ a $g$, pre ktoré platí $f(g(x)) = g(f(x)) = −x$ pre každé reálne číslo $x$. $(∗)$
a) Nájdite aspoň tri rôzne dvojice vyhovujúcich funkcií $f, g$.
b) Dokážte, že ak platí $(∗)$ pre nejakú dvojicu funkcií $f, g$, tak obe tieto funkcie sú nepárne.
c) Nech dvojica $f, g$ spĺňa podmienku $(∗)$. Dokážte, že ku každému reálnemu číslu $b$ existuje práve jedno reálne číslo $a$, pre ktoré platí $f(a) = b$. (Funkcia $f$ s touto vlastnosťou sa nazýva bijektívna.)
d) Nájdite všetky polynómy $f$ nanajvýš tretieho stupňa, ku ktorým existuje funkcia $g$ tak, aby platil vzťah $(∗)$.

Aktuality

Koniec letného semestra STROMu
Letný semester STROMu nám skončil a na jeseň sa môžete tešiť na svoje vytúžené sústredenie. Pozrite si náš časopis s najnovším poradím ;)
(28. máj 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Po prvej sérii
už máme :) Ale nestrácajte čas a mrknite hneď opravené riešenia, časopis a druhú sériu. Sústredko sa blíži - už 3.2. začíname..
(20. november 2018)

Nový ročník
Nové príklady a časopis v krásnom skoro jubilejnom 43. ročníku je už na svete, tak počítajte, tešíme sa na pekné riešenia :)
(13. september 2018)

Dobojované :)
Náš letný semester sa skončil. Už je rozhodnuté, kto sa môže tešiť sa sústredko a kto to môže skúsiť zas nabudúce. Tešíme sa na vás v septembri ;)
(27. máj 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.