Zadania seminára STROM, 41. ročník - Zimný semester


1. Dokážte, že ak je číslo $n$ druhou mocninou prirodzeného čísla, potom je súčin posledných dvoch cifier dekadického zápisu čísla $n$ párne číslo.
2. Je daný štvorec a $9$ priamok. Každá z týchto $9$ priamok delí tento štvorec na štvoruholníky, ktorých pomer obsahov je $2:3$. Dokážte, že aspoň $3$ z týchto priamok sa pretínajú v jednom bode.
3. Bod $M$ leží na priemere $AB$ kružnice $k$. Tetiva $CD$ prechádza bodom $M$ a pretína $AB$ pod uhlom $45^\circ$. Dokážte, že súčet $|CM|^2+|DM|^2$ nezávisí od výberu bodu $M$.
4. Pre ktoré reálne čísla $c$ existujú práve dve rôzne reálne čísla, ktoré sú riešením rovnice $x^3+(c-1)x+c=0$?
5. V pravidelnom $n$-uholníku je každá strana aj uhlopriečka zafarbená jednou z $n-1$ farieb. Vrchol sa nazýva dúhový, ak všetky strany a uhlopriečky, ktoré z neho vychádzajú, majú navzájom rôzne farby. Koľko najviac vrcholov môže byť dúhových?
6. Do daného ostrouhlého trojuholníka $ABC$ vpíšte trojuholník $KLM$ tak, aby jeho obvod bol najmenší možný.

1. Dokážte, že v každom konvexnom päťuholníku vieme vybrať $3$ uhlopriečky tak, že ich poprekladaním je možné zostrojiť trojuholník.
2. Nech $F_n$ je $n$-té Fibonacciho číslo. Nájdite všetky dvojice kladných celých čísel $(a,\ n)$ také, že $F_n + F_{2n} + F_{3n} = a! + 3$.
3. Do tabuľky $4\times4$ sú vpísané kladné reálne čísla tak, že súčin v každej pätici tvaru $T$ je rovný $1$. Zistite maximálny počet rôznych čísel zapísaných v tabuľke.
4. Je daný pravouhlý trojuholník $ABC$ s preponou $AB$. Na jeho odvesnách $BC$ a $AC$ sú postupne zvolené také body $K$ a $L$, že $|CK| = 2|BK|$ a $|AL| = 2|CL|$. Nech $D$ je päta výšky z vrcholu $C$ trojuholníka $ABC$. Dokážte, že body $K,\ C,\ L$ a $D$ ležia na jednej kružnici.
5. Dokážte, že pre ľubovoľné kladné čísla $x$ a $y$ platí nerovnosť $$x+y \geq \sqrt{xy} + \sqrt{\frac{(x^2 + y^2)}{2}}.$$
6. Nech $x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n$ sú nezáporné reálne čísla, ktorých súčet je 1. Dokážte, že existujú čísla $ a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$, z ktorých každé je rovné $0,\ 1,\ 2,\ 3,$ alebo 4 také, že $$(a_1,\ a_2,\ \dots,\ a_n)\not= (2,\ 2,\ \dots,\ 2)$$
a
$$2\leq a_1x_1+a_2x_2+\ldots+a_nx_n\leq 2+\frac{2}{3^n-1}.$$

Aktuality

Koniec letného semestra STROMu
Letný semester STROMu nám skončil a na jeseň sa môžete tešiť na svoje vytúžené sústredenie. Pozrite si náš časopis s najnovším poradím ;)
(28. máj 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Po prvej sérii
už máme :) Ale nestrácajte čas a mrknite hneď opravené riešenia, časopis a druhú sériu. Sústredko sa blíži - už 3.2. začíname..
(20. november 2018)

Nový ročník
Nové príklady a časopis v krásnom skoro jubilejnom 43. ročníku je už na svete, tak počítajte, tešíme sa na pekné riešenia :)
(13. september 2018)

Dobojované :)
Náš letný semester sa skončil. Už je rozhodnuté, kto sa môže tešiť sa sústredko a kto to môže skúsiť zas nabudúce. Tešíme sa na vás v septembri ;)
(27. máj 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.