V poslednej dobe nadobudol veľkú popularitu japonský hlavolam SUDOKU. Klasické sudoku je tabuľka veľkosti $9\times 9$ rozdelená na 9 štvorcov veľkosti $3\times 3$, pričom v niektorých políčkach tabuľky sú vpísané čísla od 1 po 9. Takúto tabuľku nazvime zadanie. Úlohou je doplniť do všetkých ostatných políčok čísla od 1 po 9 tak, aby v každom stĺpci, riadku, štvorci $3\times 3$ bolo každé číslo práve raz. Takto vyplnenú tabuľku nazvime riešením daného zadania.
Uvažujme menšie a jednoduchšie sudoku: Tabuľku veľkosti $4\times 4$ rozdelenú na 4 štvorce veľkosti $2\times 2$ chceme vyplni číslami od 1 po 4 tak, aby v každom riadku, každom ståpci, každom štvorci $2\times 2$ bolo každé èíslo práve raz.
a) Koľko existuje všetkých možných riešení takéhoto sudoku $4\times 4$?
b) Nájdite také zadanie sudoku veľkosti $4\times 4$, v ktorom sú vpísané len 4 čísla, a pritom má jediné riešenie.
c) Dokážte, že ak zadanie sudoku $4\times 4$ má jediné riešenie, tak sú v òom už vpísané aspoň 4 čísla (alebo ekvivalentne: dokážte, že ak sú zadané najviac tri čísla, tak také sudoku buď nemá riešenie, alebo má viac ako jedno riešenie).

Jožko si raz dlhú chvíľu v škole krátil tým, že sa snažil vyplni tabuľku $5 \times 5$ štvorčekov útvarmi z obrázku, (pričom ich mohol ľubovoľne otočiť alebo prevrátiť, nesmeli sa však prekrývať) Okamžite prišiel na to, že sa mu minimálne 1 políčko musí zvýši. Nie vždy to však bolo to isté políčko. Viete Jožkovi povedať, ktoré políčka to môžu by?
b) Ferko si všimol Jožkovu zábavku a hneď ju začal riešiť. Keďže sa mu Jožkova úloha zdala príliš ľahká, tak on si zobral ľubovoľnú tabuľku $n \times n$ štvorčekov. Koľko políčok sa najmenej Ferkovi zvýši? Ktoré políčka to môžu byť?
Svoje tvrdenia nezabudnite poriadne zdôvodniť.

a) Paľko si do zošita píše postupnosti čísel. Začne celým číslom 0, a potom k nemu pripočíta nejaké prirodzené číslo $a$. Potom znova pripočíta $a$, a znova, a znova. Paľkova postupnos teda vyzerá takto: $0, a, 2a, 3a, 4a,\dots$
Jožko si zvolil prirodzené číslo $b$ a do zošita si začal písa zvyšky Paľkových čísel po delení číslom $b$ (presne v tom istom poradí, v akom mal napísané èísla Paľko). Ukážte, že bez ohľadu na to, aké čísla si chlapci zvolia, bude od istého miesta Jožkova postupnosť obsahovať presne tie isté čísla, ako na začiatku (teda je periodická).
b) Aj Samko si začal písať do zošita čísla, ale namiesto sčítania nasobí a namiesto nuly začína jednotkou. Takže jeho postupnosť vyzerá takto: $1, a, a^2, a^3, \dots$
Mirko si myslí, že keï si zvolí hocijaké prirodzené číslo $b$, začnú sa zvyšky Samkových čísel po delení číslom $b$ tiež od istého miesta opakovať. Má Mirko pravdu?
c) Pani uciteľka si všimla hru chlapcov, a povedala: "Nech $P(x)$ je lubovoľný polynóm s celočíselnými koeficientami. Vytvorme postupnosť čísel $$ P(1)^1, P(2)^2,\dots,P(n)^n,\dots $$ Čo viete o takejto postupnosti povedať?" Dežko si hneď všimol, že nech si zvolí hocijaké prirodzené číslo $b$, zvyšky jednotlivých členov tejto postupnosti po delení číslom $b$ tvoria periodickú postupnosť. Dokážte, že Dežko má pravdu.

Nech $ABC$ je ostrouhlý trojuholník s priesečníkom výšok $V$.
a) Označme $V_a$, $V_b$, $V_c$ po poradí obrazy priesečníka výšok v osových súmernostiach podľa strán $BC$, $CA$, $AB$. Dokážte, že body $V_a$, $V_b$, $V_c$ ležia na kružnici opísanej trojuholníku $ABC$.
b) Označme $U_a$, $U_b$, $U_c$ po poradí obrazy priesečníka výšok v stredových súmernostiach podľa stredov strán $BC$, $CA$, $AB$. Dokážte, že body $U_a$, $U_b$, $U_c$ ležia na kružnici, ktorej polomer je rovnaký ako polomer kružnice opísanej trojuholníku $ABC$.
c) Označme $U_a$, $U_b$, $U_c$ po poradí obrazy priesečníka výšok v stredových súmernostiach podľa stredov strán $BC$, $CA$, $AB$. Dokážte, že trojuholníky $U_aU_bU_c$ a $ABC$ sú zhodné.

Dada dostala v Nórsku úžasnú kalkulačku. Ak zadáte prirodzené èíslo $n$ a stlačíte tlačidlo označené symbolom $\ast$, v kalkulačke to zarachotí a na displeji sa objaví prirodzené èíslo, nazvime ho $n^\ast$. Dada s pomocou slovníka a návodu na použitie kalkulačky zistila, že s číslom $n$ sa deje toto:
Prirodzené číslo $n$ sa prevedie do dvojkovej sustavy. Počet jednotiek a počet núl (za prvou jednotkou) v získanom čísle sa zväčší o jedna. Získané dve čísla sa spolu vynásobia, výsledný súčin sa objaví na displeji. Napríklad 13 ($8+4+1$) v dvojkovej sústave je $1101$, takže $13^\ast$ je $(3+1)(1+1)$ čiže 8. Keď zadáme $8 = 1000_2$, kalkulačka vyráta $8^\ast=(1+1)(3+1)$, čiže op仝 8.
a) Zistite $2008^\ast$.
b) Zistite, pre koľko prirodzených čísel $n$ (vrátane 2008) platí $n^\ast=2008^\ast$.
c) Zistite, pre koľko prirodzených čísel $n$ platí $n^\ast=n$. Ktoré sú to čísla?

Majme trojuholník $ABC$. Nech $P$ je priesečník osi uhla $BAC$ a osi strany $BC$. Ďalej nech body $K$, $L$, $M$ sú postupne päty kolmíc z bodu $P$ na priamky $AB$, $BC$, $CA$. Dokážte, že
a) trojuholníky $PKB$ a $PMC$ sú podobné,
b) štvoruholník $ABPC$ je tetivový,
c) body $K$, $L$, $M$ sú kolineárne.

Fibonacciho postupnosť $(F_n)$ je definovaná vzťahom $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ pre $n\ge 1$ a počiatočnými hodnotami $F_1 = 1$, $F_2 = 1$.
a) Dokážte, že existuje Fibonacciho číslo deliteľné číslom 2008.
b) Existuje aritmetická postupnosť, ktorá neobsahuje žiadne Fibonacciho číslo?

Daný je ostrouhlý trojuholník $ABC$ s priesečníkom výšok $V$.
a) Dokážte, že kružnice opísané trojuholníkom $ABV$, $BCV$, $CAV$ sú zhodné.
b) V rovine sú dane tri zhodné kružnice prechádzajúce bodom $H$. Označme priesečníky dvojíc týchto kružníc $A$, $B$, $C$ (tieto body su rôzne od bodu $H$). Dokážte, že bod $H$ je ortocentrom trojuholníka $ABC$.
c) Daná je kružnica $k$ a jej tetiva $AB$. Po jednom z oblúkov tejto kružnice sa pohybuje bod $C$ rôzny od bodov $A$ a $B$. Po akej dráhe sa pohybuje priesečník výšok trojuholníka $ABC$?