Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
Ak nevieš pohnúť ďalej s niektorou z úloh, skús sa pozrieť na pár tipov.
1. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n>3, ktoré je nedeliteľné 3 platí, že šachovnicu
n×n je možné rozrezať na jeden štvorec 1×1 a obdĺžniky 3×1.
2. Majme štvoruholník ABCD, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v bode E a
uhlopriečku AC rozdeľujú body E, S a R na 4 rovnako dlhé úseky
(|AE|=|ES|=|SR|=|RC|=14|AC|). Obdobne uhlopriečku BD rozdeľujú body Q, P a E
na 4 rovnako dlhé úseky (|BQ|=|QP|=|PE|=|ED|=14|BD|). Určte pomer obsahov štvoruholníkov ABCD a PQRS.
3. Nech pre kladné reálne čísla a1,a2,…,an platí, že súčet ich druhých mocnín je z2. Dokážte, že súčet ich tretích mocnín je nanajvýš z3.
4. Nájdite všetky prirodzené čísla a, b, pre ktoré platí a+b+D(a,b)+n(a,b)=50, pričom D(a,b) označuje najväčšieho spoločného deliteľa a n(a,b) najmenší spoločný násobok čísel a a b.
5. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n platí: (2nn) delí najmenší spoločný násobok čísel 1,2,…,2n.
6. Zostrojte štvoruholník ABCD, ak poznáte AB, AD, uhly pri vrcholoch B a D a navyše viete, že sa mu dá vpísať kružnica. Okrem postupu nezabudnite hlavne na dôkaz správnosti tejto konštrukcie.
Diskusia k zadaniu 1. séria - Letný semester - príklad 1
Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n>3, ktoré je nedeliteľné 3 platí, že šachovnicu
n×n je možné rozrezať na jeden štvorec 1×1 a obdĺžniky 3×1.
Diskusia k zadaniu 1. séria - Letný semester - príklad 2
Majme štvoruholník ABCD, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v bode E a
uhlopriečku AC rozdeľujú body E, S a R na 4 rovnako dlhé úseky
(|AE|=|ES|=|SR|=|RC|=14|AC|). Obdobne uhlopriečku BD rozdeľujú body Q, P a E
na 4 rovnako dlhé úseky (|BQ|=|QP|=|PE|=|ED|=14|BD|). Určte pomer obsahov štvoruholníkov ABCD a PQRS.
Diskusia k zadaniu 1. séria - Letný semester - príklad 3
Nech pre kladné reálne čísla a1,a2,…,an platí, že súčet ich druhých mocnín je z2. Dokážte, že súčet ich tretích mocnín je nanajvýš z3.
Diskusia k zadaniu 1. séria - Letný semester - príklad 4
Nájdite všetky prirodzené čísla a, b, pre ktoré platí a+b+D(a,b)+n(a,b)=50, pričom D(a,b) označuje najväčšieho spoločného deliteľa a n(a,b) najmenší spoločný násobok čísel a a b.
Diskusia k zadaniu 1. séria - Letný semester - príklad 5
Dokážte, že pre každé prirodzené číslo n platí: (2nn) delí najmenší spoločný násobok čísel 1,2,…,2n.
Diskusia k zadaniu 1. séria - Letný semester - príklad 6
Zostrojte štvoruholník ABCD, ak poznáte AB, AD, uhly pri vrcholoch B a D a navyše viete, že sa mu dá vpísať kružnica. Okrem postupu nezabudnite hlavne na dôkaz správnosti tejto konštrukcie.
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
Ak nevieš pohnúť ďalej s niektorou z úloh, skús sa pozrieť na pár tipov.
1. Nájdite všetky trojice reálnych čísel x, y, z, pre ktoré platí:
x2=y+z,y2=z+x,z2=x+y.
2. Nájdite najväčšie trojciferné číslo deliteľné 11, ktorého súčin cifier je piata mocnina.
3. Máme jednu kocku a ľubovoľné prirodzené číslo k>55. Ukážte, že našu kocku vieme rozrezať na k menších, nie nutne rovnako veľkých kociek, t.j. rozdeliť ju na k kúskov tak, aby každý z nich bol kockou, bez ohľadu na to, aké k>55 si zvolíme.
4. V štvoruholníku ABCD sú pravé uhly pri vrcholoch B a D. AM a CN sú výšky v trojuholníkoch ABD a CBD. Dokážte, že |BN|=|DM|.
5. Nech n je prirodzené číslo. Ďalej uvažujme len postupnsti dĺžky 2n+2 zložené len z núl a jednotiek. Nájdite najmenšie prirodzené číslo k, pre ktoré vieme vybrať k {\it \uv{vyvolených}} postupností takých, že každá postupnosť sa zhoduje s nejakou vyvolenou na aspoň n+2 pozíciách.
6. Nájdite všetky prirodzené čísla n, pre ktoré ak p(x) je polynóm s celočíselnými koeficientami taký, že 0≤p(k)≤n pre k=0,1,2,…,n+1, potom p(0)=p(1)=⋯=p(n+1).
Diskusia k zadaniu 2. séria - Letný semester - príklad 1
Nájdite všetky trojice reálnych čísel x, y, z, pre ktoré platí:
x2=y+z,y2=z+x,z2=x+y.
Diskusia k zadaniu 2. séria - Letný semester - príklad 2
Nájdite najväčšie trojciferné číslo deliteľné 11, ktorého súčin cifier je piata mocnina.
Diskusia k zadaniu 2. séria - Letný semester - príklad 3
Máme jednu kocku a ľubovoľné prirodzené číslo k>55. Ukážte, že našu kocku vieme rozrezať na k menších, nie nutne rovnako veľkých kociek, t.j. rozdeliť ju na k kúskov tak, aby každý z nich bol kockou, bez ohľadu na to, aké k>55 si zvolíme.
Diskusia k zadaniu 2. séria - Letný semester - príklad 4
V štvoruholníku ABCD sú pravé uhly pri vrcholoch B a D. AM a CN sú výšky v trojuholníkoch ABD a CBD. Dokážte, že |BN|=|DM|.
Diskusia k zadaniu 2. séria - Letný semester - príklad 5
Nech n je prirodzené číslo. Ďalej uvažujme len postupnsti dĺžky 2n+2 zložené len z núl a jednotiek. Nájdite najmenšie prirodzené číslo k, pre ktoré vieme vybrať k {\it \uv{vyvolených}} postupností takých, že každá postupnosť sa zhoduje s nejakou vyvolenou na aspoň n+2 pozíciách.
Diskusia k zadaniu 2. séria - Letný semester - príklad 6
Nájdite všetky prirodzené čísla n, pre ktoré ak p(x) je polynóm s celočíselnými koeficientami taký, že 0≤p(k)≤n pre k=0,1,2,…,n+1, potom p(0)=p(1)=⋯=p(n+1).
Newsletter
Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!