Zadania seminára STROM, 38. ročník - Letný semester


1. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n>3$, ktoré je nedeliteľné 3 platí, že šachovnicu $n\times n$ je možné rozrezať na jeden štvorec $1\times 1$ a obdĺžniky $3\times 1$.
2. Majme štvoruholník $ABCD$, ktorého uhlopriečky sa pretínajú v bode $E$ a uhlopriečku $AC$ rozdeľujú body $E$, $S$ a $R$ na 4 rovnako dlhé úseky ($|AE|=|ES|=|SR|=|RC|={1\over 4}|AC|$). Obdobne uhlopriečku $BD$ rozdeľujú body $Q$, $P$ a $E$ na 4 rovnako dlhé úseky ($|BQ|=|QP|=|PE|=|ED|={1\over 4}|BD|$). Určte pomer obsahov štvoruholníkov $ABCD$ a $PQRS$.
3. Nech pre kladné reálne čísla $a_1,a_2,\dots,a_n$ platí, že súčet ich druhých mocnín je $z^2.$ Dokážte, že súčet ich tretích mocnín je nanajvýš $z^3.$
4. Nájdite všetky prirodzené čísla $a$, $b$, pre ktoré platí $a+b+D(a,b)+n(a,b)=50$, pričom $D(a,b)$ označuje najväčšieho spoločného deliteľa a $n(a,b)$ najmenší spoločný násobok čísel $a$ a $b$.
5. Dokážte, že pre každé prirodzené číslo $n$ platí: ${2n\choose n}$ delí najmenší spoločný násobok čísel $1, 2, \dots, 2n.$
6. Zostrojte štvoruholník $ABCD$, ak poznáte $AB$, $AD$, uhly pri vrcholoch $B$ a $D$ a navyše viete, že sa mu dá vpísať kružnica. Okrem postupu nezabudnite hlavne na dôkaz správnosti tejto konštrukcie.

1. Nájdite všetky trojice reálnych čísel $x$, $y$, $z$, pre ktoré platí: $$x^2=y+z,\qquad y^2=z+x, \qquad z^2=x+y.$$
2. Nájdite najväčšie trojciferné číslo deliteľné 11, ktorého súčin cifier je piata mocnina.
3. Máme jednu kocku a ľubovoľné prirodzené číslo $k>55$. Ukážte, že našu kocku vieme rozrezať na $k$ menších, nie nutne rovnako veľkých kociek, t.j. rozdeliť ju na $k$ kúskov tak, aby každý z nich bol kockou, bez ohľadu na to, aké $k>55$ si zvolíme.
4. V štvoruholníku $ABCD$ sú pravé uhly pri vrcholoch $B$ a $D$. $AM$ a $CN$ sú výšky v trojuholníkoch $ABD$ a $CBD$. Dokážte, že $|BN|=|DM|.$
5. Nech $n$ je prirodzené číslo. Ďalej uvažujme len postupnsti dĺžky $2n+2$ zložené len z núl a jednotiek. Nájdite najmenšie prirodzené číslo $k$, pre ktoré vieme vybrať $k$ {\it \uv{vyvolených}} postupností takých, že každá postupnosť sa zhoduje s nejakou vyvolenou na aspoň $n+2$ pozíciách.
6. Nájdite všetky prirodzené čísla $n$, pre ktoré ak $p(x)$ je polynóm s celočíselnými koeficientami taký, že $0\leq p(k) \leq n$ pre $k = 0, 1, 2, \dots, n+1$, potom $p(0)=p(1)= \dots =p(n+1)$.

Aktuality

Bude výlet...
...tak hlasujte v ankete o termíne výletu! Bližšie informácie už čoskoro.
(18. november 2019)

Koniec letného semestra STROMu
Letný semester STROMu nám skončil a na jeseň sa môžete tešiť na svoje vytúžené sústredenie. Pozrite si náš časopis s najnovším poradím ;)
(28. máj 2019)

Pozrite sa..
..ako sme sa mali na sústredeniach Malynáru, Matika aj STROMu. Fotky sú už v galériách :)
(05. marec 2019)

Po prvej sérii
už máme :) Ale nestrácajte čas a mrknite hneď opravené riešenia, časopis a druhú sériu. Sústredko sa blíži - už 3.2. začíname..
(20. november 2018)

Nový ročník
Nové príklady a časopis v krásnom skoro jubilejnom 43. ročníku je už na svete, tak počítajte, tešíme sa na pekné riešenia :)
(13. september 2018)

Info

Stránka je vo vývoji, a je možné že natrafíte na chyby alebo nedostatky. Vaše postrehy a návrhy na zlepšenie prosím zasielajte na adresu



Tento projekt sa organizuje vďaka podpore z Európskeho sociálneho fondu a Európskeho fondu regionálneho rozvoja v rámci Operačného programu Ľudské zdroje.