Rozhodnite, či sa dajú prirodzené čísla rozdeliť na dve skupiny tak, aby v žiadnej z týchto skupín neboli tri čísla, z ktorých jedno je aritmetickým priemerom ostatných dvoch. Svoje tvrdenie zdôvodnite.

Daný je rovnoramenný trojuholník $ABC$. Na základni $AB$ zvolíme bod $X$ a vypočítame súčet vzdialeností bodu $X$ od ramien trojuholníka $ABC$. Ukážte, že hodnota tohto súčtu nezávisí od voľby bodu $X$.

Štvorec $100 \times 100$ je rozdelený na $10 000$ jednotkových štvorčekov. Do nich sú ľubovoľným spôsobom vpísané všetky celé čísla od $1$ do $10 000$ (v každom štvorčeku práve jedno číslo). Dokážte, že existujú dva susedné štvorčeky, do ktorých sú vpísané čísla líšiace sa aspoň o $51$. Štvorčeky považujte za susedné, ak majú spoločnú stranu.

V konvexnom štvoruholníku $ABCD$ sú na strane $BC$ dané body $E$ a $F$ tak, že bod $E$ je bližšie k bodu $B$ ako bod $F$. Navyše platí: $$|\sphericalangle BAE| = |\sphericalangle CDF|$$ $$|\sphericalangle EAF| = |\sphericalangle FDE|$$. Dokážte, že uhly $FAC$ a $EDB$ majú rovnakú veľkosť.

V rovine stojí $2n + 1$ tankov, kde $n \in \mathbb{N}$, pričom žiadne dva tanky nie sú rovnako vzdialené. Naraz každý tank vystrelí na k nemu najbližší tank (nie však na seba). Dokážte, že:
a) aspoň jeden tank nedostal žiaden zásah;
b) dráhy žiadnych dvoch striel sa nekrižovali;
c) žiadny tank nezasiahlo viac ako 5 striel.

Nájdite všetky dvojice prvočísel p, q také, že $4^p + 1 = 5^q$.

Nájdite všetky prvočísla, ktoré sú súčasne súčtom aj rozdielom dvoch vhodných prvočísel.

Dokážte, že v ľubovoľnom desaťcifernom čísle sa dajú cifry premiestniť takým spôsobom, aby súčet prvých päť cifier nového čísla sa líšil od súčtu jeho posledných päť cifier o menej než desať. (Úlohu riešte v desiatkovej sústave.)

Nech $n$ je prirodzené číslo. Dokážte, že čísla $n! + 1$ a $(n + 1)! + 1$ sú nesúdeliteľné. Zápis $n!$ označuje súčin $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n − 1) \cdot n$.

Do políčok tabuľky $2011 \times 2011$ sú vpísané reálne čísla v absolútnej hodnote neprevyšujúce $1$ tak, že v každom políčku je práve jedno číslo. Súčet štyroch čísel v ľubovoľnom štvorci $2 \times 2$ je $0$. Dokážte, že súčet všetkých čísel v tabuľke je nanajvýš $2011$.

Rozhodnite, či existuje konvexný päťuholník, v ktorom žiadna uhlopriečka nie je väčšia ako protiľahlá strana, t. j. strana, ktorá s touto uhlopriečkou nemá žiadny spoločný bod. Svoje tvrdenie zdôvodnite.

Daný je trojuholník $ABC$. Pre bod $P$ ležiaci vnútri trojuholníka $ABC$ označíme $D$, $E$, $F$ päty kolmíc spustených z $P$ na priamky $BC$, $CA$, $AB$ (v tomto poradí). Nájdite všetky polohy bodu $P$, pre ktoré výraz $$\frac{|BC|}{|PD|} + \frac{|CA|}{|PE|} + \frac{|AB|}{|PF|}$$ nadobúda minimálnu hodnotu.