Slepý Kleofáš má na stole 100 mincí, z ktorých je jedna otočená lícom hore a zvyšné sú otočené rubom hore. Kleofáš hmatom nerozozná rub od líca, môže však mince presúva a otáča}. Raz k nemu zostúpil dobrý anjel a ponúkol mu, že ak rozdelí mince na dve kôpky tak, aby bol v každej kôpke rovnaký počet mincí otočených lícom hore, prinavráti mu stratený zrak. Ako môže Kleofáš získa stratený zrak? A čo v prípade, že na začiatku bolo zo 100 mincí 20 otočených lícom hore?

Ukážte, že rovnica $15x^2 - 7y^2 = 9$ nemá žiadne celočíselné riešenie.

Je daný ostrouhlý trojuholník $ABC$. Označme $S$ stred kružnice $k$ jemu vpísanej, $A_1$, $B_1$, $C_1$ body dotyku kružnice $k$ a strán $BC$, $CA$, $AB$ trojuholníka. Označme ïalej $X$ prieseèník priamok $B_1C_1$ a $CS$, $Y$ priesečník priamok $B_1C_1$ a $BS$. Dokážte, že
a) body $B,X,Y,C$ ležia na jednej kružnici,
b) body $B,X,C_1,S,A_1$ ležia na jednej kružnici.

a) Nájdite všetky dvojice prirodzených čísel $a_1$, $a_2$, pre ktoré platí $$ a_1 \mid a_2+1, \qquad 2a_2 \mid a_1+2. $$ b) Nájdite všetky trojice prirodzených čísel $a_1,a_2,a_3$, pre ktoré platí $$ a_1 \mid a_2+1, \qquad 2a_2 \mid a_3+2, \qquad 3a_3 \mid a_1+3. $$

Janko vie písa iba číslice 2 a 9. Môže napísa číslo, ktoré má práve 2009 číslic a je deliteľné $2^{2009}$? Koľko takých èísel môže napísať?

Nech $a$, $b$ a $c$ sú
a) prirodzené
b) kladné reálne èísla.
Dokážte, že $$ a^a*b^b*c^c \ge (abc)^{\frac{a+b+c}{3}}.$$

V rovine je daný trojuholník $UVS$.
a) Zostrojte trojuholník $ABC$ taký, že body $U$, $V$, $S$ sú (v tomto poradí) stred strany $AC$, stred strany $BC$ a päta výšky z vrchola $C$. Nezabudnite zdôvodni, že vami zostrojený trojuholník $ABC$ má všetky požadované vlastnosti. Koľko má úloha riešení v závislosti od tvaru daného trojuholníka $UVS$?
b) Aké podmienky musí spĺňať trojuholník $UVS$, aby sa dal zostrojiť trojuholník $ABC$, v ktorom sú body $U$ a $V$ pätami výšok z vrcholov $A$ a $B$ a bod $S$ je stredom strany $AB$?
c) Zostrojte trojuholník $ABC$ z časti b), ak o ňom navyše viete, že je pravouhlý.

Je daný ostrouhlý trojuholník $ABC$. Označme $S$ stred kružnice $k$ jemu vpísanej, $A_1$, $B_1$, $C_1$ body dotyku kružnice $k$ a strán $BC$, $CA$, $AB$ trojuholníka. Označme ďalej $X$ priesečník priamok $B_1C_1$ a $CS$, $Y$ priesečník priamok $B_1C_1$ a $BS$, $Z$ stred strany $BC$. Dokážte, že
a) priamky $YZ$ a $AB$ sú rovnobežné,
b) trojuholník $XYZ$ je rovnostranný práve vtedy, keï veľkosť uhla $\alpha$ je $60^\circ$,
c) spojnica $B_1C_1$ bodov dotyku kružnice vpísanej danému trojuholníku, os uhla $CS$ a stredná priečka rovnobežná s $AC$ sa pretínajú v jednom bode.