Dokážte, že skupinu ľubovoľných $2n$ cifier vieme rozdeliť na dve skupiny o veľkosti $n$ tak, že rozdiel súčtov čísel v týchto skupinách bude nanajvýš 9.

Určte všetky reálne čísla $p$ také, že pre ľubovoľné kladné reálne čísla $x$, $y$ platí nerovnosť: $$\frac{x^3+py^3}{x+y} \geq xy.$$

Nech $M$ je najmenšia množina racionálnych čísel, ktorá má nasledovné vlastnosti:

• $M$ obsahuje $\frac{1}{2}$.
• Ak $M$ obsahuje $\frac{p}{q}$, kde $p$ je celé číslo a $q$ je kladné celé číslo, tak obsahuje aj $\frac{p}{p+q}$ a $\frac{q}{p+q}$.

Kladné celé číslo $n$ má práve $d$ deliteľov a zároveň sa medzi jeho deliteľmi nevyskytuje štvorec väčší než 1. Koľko najviac z týchto deliteľov (vzhľadom ku $n$ a $d$) môžeme vybrať tak, aby pre žiadne dva vybrané delitele $a$, $b$ nebol $a^2+ab-n$ nenulový štvorec?

Postupnosť $\{a_i\}^{\infty}_{i=1}$ spĺňa $a_1=0$ a pre každé $k\geq 1$ platí $|a_{k+1}|=|a_k+1|$. Dokážte, že pre všetky kladné celé čísla $n$ platí: $$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\geq -\frac{1}{2}.$$

Majme pravouhlý trojuholník $ABC$ s pravým uhlom pri vrchole $B$. Nech $BD$ je výška z vrcholu $B$ na stranu $AC$ (bod $D$ leží na $AC$). Ďalej označme $R$, $S$ a $T$ postupne stredy kružníc vpísaných trojuholníkom $ABD$, $CBD$ a $ABC$. Ukážte, že stred kružnice opísanej trojuholníku $RST$ leží na priamke $AC$.

Pre kladné celé $n$ dokážte, že platí $( 1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{8})\dots (1+\frac{1}{n^2-1})<2$.

Pre kladné celé $n$ dokážte, že platí $( 1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{8})\dots (1+\frac{1}{n^2-1})<2$.

Majme konvexný štvoruholník $ABCD$. Označme $E$ stred strany $AB$ a $F$ stred strany $CD$. Pre tento štvoruholník platí, že $|EF| = \frac{|AD| + |BC|}{2}$. Dokážte, že strany $AD$ a $BC$ sú rovnobežné.

Majme konvexný štvoruholník $ABCD$. Označme $E$ stred strany $AB$ a $F$ stred strany $CD$. Pre tento štvoruholník platí, že $|EF| = \frac{|AD| + |BC|}{2}$. Dokážte, že strany $AD$ a $BC$ sú rovnobežné.

Anton a Beton hrajú hru s číslami od 1 do 2022. Na začiatku sú čísla zoradené zostupne. Anton má silu $A$ a Beton má silu $B$. Hráči sa striedajú v ťahoch, počnúc Antonom, a v každom ťahu si môže hráč so silou $M$ vybrať nejakých $M$ čísel a ľubovoľne ich preusporiadať. Beton chce rad čísel usporiadať vzostupne, Anton mu v tom chce zabrániť. Zistite, či sa to Betonovi podarí za konečný počet ťahov, ak sila Antona je $A = 1000$ a Beton má silu

1. $B = 1000$,
2. $B = 1001$,
3. $B = 1002$.

Anton a Beton hrajú hru s číslami od 1 do 2022. Na začiatku sú čísla zoradené zostupne. Anton má silu $A$ a Beton má silu $B$. Hráči sa striedajú v ťahoch, počnúc Antonom, a v každom ťahu si môže hráč so silou $M$ vybrať nejakých $M$ čísel a ľubovoľne ich preusporiadať. Beton chce rad čísel usporiadať vzostupne, Anton mu v tom chce zabrániť. Zistite, či sa to Betonovi podarí za konečný počet ťahov, ak sila Antona je $A = 1000$ a Beton má silu

1. $B = 1000$,
2. $B = 1001$,
3. $B = 1002$.

Majme úsečku $AB$ a bod $P$ v jej strede. Nech $T$ je bod dotyku dotyčnice vedenej z bodu $A$ ku kružnici s priemerom $PB$. Vyjadrite dĺžku úsečky $PT$ v závislosti od dĺžky $AB$.

Majme úsečku $AB$ a bod $P$ v jej strede. Nech $T$ je bod dotyku dotyčnice vedenej z bodu $A$ ku kružnici s priemerom $PB$. Vyjadrite dĺžku úsečky $PT$ v závislosti od dĺžky $AB$.

Postupnosť $\{a_i\}^{\infty}_{i=1}$ spĺňa $a_1=1$ a $a_{k+1} = a_{k}^{2} + 1$ pre všetky kladné celé čísla $k$. Dokážte, že existuje kladné celé číslo $n$ také, že $a_n$ je deliteľné prvočíslom, ktoré obsahuje viac ako 2022 cifier.

Postupnosť $\{a_i\}^{\infty}_{i=1}$ spĺňa $a_1=1$ a $a_{k+1} = a_{k}^{2} + 1$ pre všetky kladné celé čísla $k$. Dokážte, že existuje kladné celé číslo $n$ také, že $a_n$ je deliteľné prvočíslom, ktoré obsahuje viac ako 2022 cifier.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ také, že $$f(f(x) - y) = f(x) + f(f(y) - f(-x)) + x$$ pre všetky $x, y \in \mathbb{R}$.

Nájdite všetky funkcie $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ také, že $$f(f(x) - y) = f(x) + f(f(y) - f(-x)) + x$$ pre všetky $x, y \in \mathbb{R}$.