Vlada a Tomáša jedného dňa prestalo bavi študovať matematiku a tak sa rozhodli že ako správni spolubývajúci sa presahujú niekam, kde je čistý vzduch a kde nie sú žiadne problémy. Preto sa dohodli, že si kúpia pozemok. Štúdium matematiky v nich ale zanechalo hlboké stopy. Kúpili si pozemok v tvare tetivového štvoruholníka. Po bratsky si chceli rozdeli pozemok na dve polovice s rovnakým obvodom a obsahom. Vypočítali si, že musia zapichnú kôl do jednej strany štvoruholníka a spojiť ho s protiľahlým vrcholom (sú dva, vyberte si jeden :-). Ukážte, že ak takto získali dva pozemky s rovnakým obvodom a obsahom, potom musia ma dve strany pôvodného pozemku rovnakú dĺžku.

Marek dostal na narodeniny sadu "skoro eurokalkulačiek". "Skoro eurokalkulačky" vedeli robi len jednu vec. Zadáš číslo, stlačíš veľké okrúhle tlačidlo a kalkulačka ti ukáže nejaké číslo. Marek sa chvíľu hral a zistil ako fungujú. Na zadnej strane každej eurokalkulačky je napísaný nejaký polynóm s celočíselnými koeficientami. Všetko, čo robila kalkulaèka nebolo nič iné ako to, že číslo dosadila do polynómu. Navyše si Marek v návode prečítal, že každá eurokalkulačka pri zadaní čísla 5 ukáže číslo 2005, tzv. "eurokúzlo". Marek si tieto kalkulačky obľúbil a tak skúšal, aké výsledky dostane, keï vyskúša aj iné èísla. Nepáčilo sa mu ale, že keď zadal čísla 30, alebo 2005 do kalkulačky, nikdy nedostal druhú mocninu celého čísla. Povedal si ale, že to bude určite len preto, že má málo kalkulačiek a tak si opýtal nové "skoro eurokalkulačky" aj na meniny. Je možné, aby dostal aj takú, ktorá mu ukáže druhú mocninu prirodzeného čísla, ak zadá 30 alebo 2005?

Feri je milovníkom čokoládovej a vanilkovej zmrzliny. Každý deň si vyberie jednu z nich a dá si ju ako zákusok po obede. Katka sa rozhodla, že si bude vies záznamy o tejto Ferkovej úchylke. Počas prvých dvoch týždòov v roku 2008 zistila, že Feri zjedol 10 čokoládových a 4 vanilkové zmrzliny. Po úmornom roku zapisovania prišla na to, že v roku 2008 zjedol Feri 244 èokoládových a 122 vanilkových zmrzlín.
a) Ukážte, že existuje 7 dní po sebe počas prvých dvoch týžòov Katkinho zapisovania, počas ktorých Feri zjedol práve 2 vanilkové zmrzliny.
b) Ukážte, že existuje 183 dní po sebe v roku 2008, keï Feri zjedol presne 122 čokoládových zmrzlín.
Uvažujte, že Feri mohol jesť čokoládové a vanilkové zmrzliny v ľubovoľnom poradí.

Dávid rád vystrihuje rôzne útvary z papiera. Nedávno našiel starý papier na ktorom bola trojuholníková sieť, prčèom sa skladala z trojuholníkov a stranami dåžky 1. Papier bol dosť veťký na to, aby Dávid vedel vystrihnúť akýkoľvek útvar a navyše strihal len po čiarach. Vystrihnuté útvary nemusia by konvexné.
a) Aký najmenší obsah môže ma vystrihnutý mnohouholník s obvodom 2009? Nájdite príklad a ukážte, že žiaden iný nemá menší obsah.
b) Musí by mnohouholník, ktorý má najväčší, obsah konvexný?
c) Aký najväčší obsah môže ma vystrihnutý mnohouholník s obvodom 2009? Nájdite príklad a ukážte, že žiaden iný nemá väčší obsah.

Vedúci STROMu si boli zase zahrať frisbee. Proti nim hral tím konkurenèného seminára, preto nechceli nič necha na náhodu a hľadali najlepšie postavenie. Najprv sa postavili na jednu čiaru Dávid a Feri. Rovnobežne s nimi, ale o niečo ďalej sa postavili Jakub s Katkou. Čiže tvorili štvoruholník $DFJK$. Pričom sa im podarilo postavi tak, že $DJ$ je kolmé na $FK$. Na priesečník priamok $DJ$ a $FK$ sa postavil Lučko ($L$). Marek a Robo sa postavili na polpriamky $LD$ a $LF$ tak, že platí $\angle DRJ = \angle FMK = 90$. O súperovi sme sa na poslednú chvíľu dozvedeli, že pre neho je neprekonateľná obrana, ktorá spľňa nasledujúce podmienky:
a) Trojuholnik $LMR$ je podobný s trojuholnikom $LFD$
b) Štvoruholník $JKMR$ je tetivovy.
c) Spojnica stredu úsečky $MR$ a bodu $L$ je kolmá na priamku $DF$.Nech $V$ je stred úsečky $MR$.
Overte a dokážte, že naše rozostavenie tvorí obranu neprekonateľnú pre tím konkurenčného seminára

Tomáš s Kubom uzatvárali stávky, kto čo všetko možné dokáže. Kubo dal Tomášovi 70 prirodzených čísel menších ako 200. Ak Tomáš dokáže z nich vybra dve čísla $a$ a $b$ tak, že ich rozdiel bude jedno z čísel: 4, 5 alebo 9 , tak Kubo mu dá do čaju cukor. V opačnom prípade mu dá do čaju soľ. Dokážte, že Tomáš môže mať sladký čaj a nie slaný.

Katka má rada prvočísla. Stále sa s nimi hrá a experimentuje. Naposledy jej Dávid zadal, aby našla všetky také prirodzené čísla $n$ a $p$, že čísla $p$, $p+2$, $2^n+p$ a $2^n+p+2$ budú prvočísla. Katke sa to nedarilo a tak vypísala súťaž, že každému kto nájde všetky dá pusu. Chcete by medzi nimi aj vy??? Tak nájdite všetky také $n$ a $p$.

Každé pekné dievča, ktoré v poslednom období Tomáš a Vlado stretli ospevovalo filmy s pirátom Jackom Sparrowom a pritom si ich vôbec nevšímalo. Tak sa Tomáš s Vladom jedného dòa rozhodli, že sa z nich stanú piráti. Obidvaja si postavili lode a spravili si preteky na mori (ktoré považujeme za rovinu). Vietor bol celý deò stály, teda obidve lode sa stále pohybovali rovnakou rýchlosťou a obidve stále udržovali svoj smer. O $9:00$ boli od seba lode vzdialené $20$ km, o $9:35$ boli vzdialené $15$ km a o $9:55$ to bolo $13$ km. Pre ich budúcu pirátsku karieru, bolo najdôležitejšie zistiť kedy je najlepší moment pre streľbu z kanónov. Viete pre nich zisti kedy boli lode najbližšie a koľko km boli vzdialené?