Martin si myslí číslo. Mihálovi prezradil, že má práve $4$ deliteľov. Potom sa ho Mihál opýtal, aká je jeho posledná cifra. Martin mu odpovedal: "To ti nemôžem povedať, pretože by si už vedel, aké je to číslo." Aké číslo si Martin myslí? Nájdite všetky možnosti.

V ostrouhlom trojuholníku $ABC$ má strana $AC$ dĺžku $4$. Kružnica opísaná tomuto trojuholníku má priemer $8$.

1. Označme $D$ priesečník dotyčníc k opísanej kružnici v bodoch $A$ a $C$. Aké hodnoty môže nadobúdať veľkosť uhla $ADC$?
2. Aké hodnoty môže nadobúdať veľkosť uhla $ABC$?

Existuje päť rôznych kladných celých čísel, pre ktoré platí, že súčet ľubovoľnej trojice z nich je deliteľný súčtom zvyšnej dvojice?

Adam a Bruno hrajú hru. Majú napísaných $n\geq 12$ za sebou idúcich prirodzených čísel. Začína Adam, v ťahoch sa striedajú a v každom ťahu jeden z nich škrtne jedno číslo, až kým neostanú napísané posledné dve čísla. Ak najväčší spoločný deliteľ týchto dvoch čísel je $1$, vyhrá Adam, inak vyhrá Bruno.

1. Kto má víťaznú stratégiu, ak $n$ je párne?
2. Kto má víťaznú stratégiu, ak $n$ je nepárne?

Sú dané kladné reálne čísla $a_1$, $a_2$, $\dots a_n$ také, že: $$a_1\leq a_2\leq \dots\leq a_n\leq n\cdot a_1.$$ Určte, pre ktoré $n$ vieme z každej takejto $n$-tice vybrať tri čísla $a_i \leq a_j \leq a_k$, pre ktoré platí: $$a_i^2 + a_j^2 > a_k^2.$$

Majme kváder s nepárnymi celočíselnými rozmermi rozdelený na menšie kvádre s celočíselnými rozmermi. Dokážte, že medzi týmito menšími kvádrami existuje kváder, ktorého vzdialenosti od stien veľkého kvádra:

1. majú párny súčet,
2. sú všetky párne alebo dve párne a štyri nepárne.

Rozhodnite, či existujú navzájom rôzne prvočísla $p_1$, $p_2$, $\dots p_n$ také, že: $$\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+ \dots +\frac{1}{p_n}=1.$$

Majme trojuholník $ABC$ so stranou $AB$ dlhou $8$ a uhlom oproti tejto strane veľkosti $120$ stupňov. Označme $p$ a $q$ dotyčnice ku kružnici opísanej tomuto trojuholníku v bodoch $A$ a $B$. Majme kružnicu $k$, ktorá sa dotýka naraz úsečky $AB$ a priamok $p$ a $q$. Označme $D$ priesečník $p$ a $q$ a $E$ bod dotyku $p$ a $k$. Aká môže byť vzdialenosť $DE$? Nájdite všetky možnosti.

V rade stojí $a+b$ misiek očíslovaných od $1$ po $a+b$, kde $a$, $b$ sú kladné celé čísla. V prvých $a$ miskách je po jednom citróne a v posledných $b$ miskách je po jednej limetke. V jednom ťahu vieme presunúť citrón z misky $i$ do $i+1$ a limetku z $j$ do $j-1$, ak rozdiel $|i-j|$ je párny. V jednej miske môže byť naraz aj viac citrusov. Chceme dostať postupom týchto krokov limetky do prvých $b$ misiek a citróny do posledných $a$ misiek (do každej jeden citrus). Pre aké $a$, $b$ je to možné?

Na chodbe sa rozbil kvetináč. Spýtali sme sa dvoch najbližších tried, kto rozbil kvetináč. Každý žiak obvinil práve jedného žiaka z tej druhej triedy. Dokážte, že vieme dať maslo na hlavu niektorým žiakom tak, že ak sa spýtame všetkých žiakov s maslom na hlave, povedia dokopy práve mená všetkých žiakov bez masla na hlave.

Predĺženie ťažnice z $A$ v trojuholníku $ABC$ pretne opísanú kružnicu v $D$ rôznom od $A$, predĺženie ťažnice z $B$ ju pretne v $E$ rôznom od $B$. $F$ a $G$ delia strany $a$ a $b$ v tomto poradí v pomere $2:1$ tak, že kratšie úseky sú priľahlé k $C$. Dokážte, že uhly $AGE$ a $BFD$ sú zhodné.

Majme celé číslo \(c\) a polynóm \(P(x)\) stupňa \(n\), ktorého koeficienty sú celé čísla. Označme \(D\) najväčšie celé číslo, pre ktoré platí, že \(D\) delí \(P(i)\) pre každé celé číslo \(i\). Dokážte, že potom \(D\) je najväčší spoločný deliteľ čísel \(P(c)\), \(P(c+1)\), $\dots$ \(P(c+n)\).