Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
Ak nevieš pohnúť ďalej s niektorou z úloh, skús sa pozrieť na pár tipov.
1. Martin si myslí číslo. Mihálovi prezradil, že má práve 4 deliteľov. Potom sa ho Mihál opýtal, aká je jeho posledná cifra. Martin mu odpovedal: "To ti nemôžem povedať, pretože by si už vedel, aké je to číslo." Aké číslo si Martin myslí? Nájdite všetky možnosti.
2. V ostrouhlom trojuholníku ABC má strana AC dĺžku 4. Kružnica opísaná tomuto trojuholníku má priemer 8.
Označme D priesečník dotyčníc k opísanej kružnici v bodoch A a C. Aké hodnoty môže nadobúdať veľkosť uhla ADC?
Aké hodnoty môže nadobúdať veľkosť uhla ABC?
3. Existuje päť rôznych kladných celých čísel, pre ktoré platí, že súčet ľubovoľnej trojice z nich je deliteľný súčtom zvyšnej dvojice?
4. Adam a Bruno hrajú hru. Majú napísaných n≥12 za sebou idúcich prirodzených čísel. Začína Adam, v ťahoch sa striedajú a v každom ťahu jeden z nich škrtne jedno číslo, až kým neostanú napísané posledné dve čísla. Ak najväčší spoločný deliteľ týchto dvoch čísel je 1, vyhrá Adam, inak vyhrá Bruno.
Kto má víťaznú stratégiu, ak n je párne?
Kto má víťaznú stratégiu, ak n je nepárne?
5. Sú dané kladné reálne čísla a1, a2, …an také, že:
a1≤a2≤⋯≤an≤n⋅a1.
Určte, pre ktoré n vieme z každej takejto n-tice vybrať tri čísla ai≤aj≤ak, pre ktoré platí:
a2i+a2j>a2k.
6. Majme kváder s nepárnymi celočíselnými rozmermi rozdelený na menšie kvádre s celočíselnými rozmermi. Dokážte, že medzi týmito menšími kvádrami existuje kváder, ktorého vzdialenosti od stien veľkého kvádra:
majú párny súčet,
sú všetky párne alebo dve párne a štyri nepárne.
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 1
Martin si myslí číslo. Mihálovi prezradil, že má práve 4 deliteľov. Potom sa ho Mihál opýtal, aká je jeho posledná cifra. Martin mu odpovedal: "To ti nemôžem povedať, pretože by si už vedel, aké je to číslo." Aké číslo si Martin myslí? Nájdite všetky možnosti.
Ahoj! Má 4 kladných celých deliteľov. Prosím.
Matej Hanus, 30. október 2023 13:11:05
Ahoj, pod "má 4 deliteľov" sa myslí 4 kladných alebo 4 celých deliteľov? Vopred ďakujem za odpoveď!
Lucia Chladná, 29. október 2023 10:52:01
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 2
V ostrouhlom trojuholníku ABC má strana AC dĺžku 4. Kružnica opísaná tomuto trojuholníku má priemer 8.
Označme D priesečník dotyčníc k opísanej kružnici v bodoch A a C. Aké hodnoty môže nadobúdať veľkosť uhla ADC?
Aké hodnoty môže nadobúdať veľkosť uhla ABC?
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 3
Existuje päť rôznych kladných celých čísel, pre ktoré platí, že súčet ľubovoľnej trojice z nich je deliteľný súčtom zvyšnej dvojice?
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 4
Adam a Bruno hrajú hru. Majú napísaných n≥12 za sebou idúcich prirodzených čísel. Začína Adam, v ťahoch sa striedajú a v každom ťahu jeden z nich škrtne jedno číslo, až kým neostanú napísané posledné dve čísla. Ak najväčší spoločný deliteľ týchto dvoch čísel je 1, vyhrá Adam, inak vyhrá Bruno.
Kto má víťaznú stratégiu, ak n je párne?
Kto má víťaznú stratégiu, ak n je nepárne?
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 5
Sú dané kladné reálne čísla a1, a2, …an také, že:
a1≤a2≤⋯≤an≤n⋅a1.
Určte, pre ktoré n vieme z každej takejto n-tice vybrať tri čísla ai≤aj≤ak, pre ktoré platí:
a2i+a2j>a2k.
Diskusia k zadaniu 1. séria - Zimný semester - príklad 6
Majme kváder s nepárnymi celočíselnými rozmermi rozdelený na menšie kvádre s celočíselnými rozmermi. Dokážte, že medzi týmito menšími kvádrami existuje kváder, ktorého vzdialenosti od stien veľkého kvádra:
Prosíme všetkých riešiteľov, aby dbali na čitateľnosť nahratých riešení - namiesto odfotenia riešenia zo zošita riešenie radšej napíšte na čistý papier formátu A4, oskenujte (prípadne využite mobilné aplikácie, ktoré skener nahradia) a nahrajte ho správne orientované vo formáte PDF. Riešiteľ riskuje stratu bodov za všetko, čo opravovatelia neprečítajú.
Ak nevieš pohnúť ďalej s niektorou z úloh, skús sa pozrieť na pár tipov.
1. Rozhodnite, či existujú navzájom rôzne prvočísla p1, p2, …pn také, že:
1p1+1p2+⋯+1pn=1.
2. Majme trojuholník ABC so stranou AB dlhou 8 a uhlom oproti tejto strane veľkosti 120 stupňov. Označme p a q dotyčnice ku kružnici opísanej tomuto trojuholníku v bodoch A a B. Majme kružnicu k, ktorá sa dotýka naraz úsečky AB a priamok p a q. Označme D priesečník p a q a E bod dotyku p a k. Aká môže byť vzdialenosť DE? Nájdite všetky možnosti.
3. V rade stojí a+b misiek očíslovaných od 1 po a+b, kde a, b sú kladné celé čísla. V prvých a miskách je po jednom citróne a v posledných b miskách je po jednej limetke. V jednom ťahu vieme presunúť citrón z misky i do i+1 a limetku z j do j−1, ak rozdiel |i−j| je párny. V jednej miske môže byť naraz aj viac citrusov. Chceme dostať postupom týchto krokov limetky do prvých b misiek a citróny do posledných a misiek (do každej jeden citrus). Pre aké a, b je to možné?
4. Na chodbe sa rozbil kvetináč. Spýtali sme sa dvoch najbližších tried, kto rozbil kvetináč. Každý žiak obvinil práve jedného žiaka z tej druhej triedy. Dokážte, že vieme dať maslo na hlavu niektorým žiakom tak, že ak sa spýtame všetkých žiakov s maslom na hlave, povedia dokopy práve mená všetkých žiakov bez masla na hlave.
5. Predĺženie ťažnice z A v trojuholníku ABC pretne opísanú kružnicu v D rôznom od A, predĺženie ťažnice z B ju pretne v E rôznom od B. F a G delia strany a a b v tomto poradí v pomere 2:1 tak, že kratšie úseky sú priľahlé k C. Dokážte, že uhly AGE a BFD sú zhodné.
6. Majme celé číslo c a polynóm P(x) stupňa n, ktorého koeficienty sú celé čísla. Označme D najväčšie celé číslo, pre ktoré platí, že D delí P(i) pre každé celé číslo i. Dokážte, že potom D je najväčší spoločný deliteľ čísel P(c), P(c+1), …P(c+n).
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 1
Rozhodnite, či existujú navzájom rôzne prvočísla p1, p2, …pn také, že:
1p1+1p2+⋯+1pn=1.
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 2
Majme trojuholník ABC so stranou AB dlhou 8 a uhlom oproti tejto strane veľkosti 120 stupňov. Označme p a q dotyčnice ku kružnici opísanej tomuto trojuholníku v bodoch A a B. Majme kružnicu k, ktorá sa dotýka naraz úsečky AB a priamok p a q. Označme D priesečník p a q a E bod dotyku p a k. Aká môže byť vzdialenosť DE? Nájdite všetky možnosti.
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 3
V rade stojí a+b misiek očíslovaných od 1 po a+b, kde a, b sú kladné celé čísla. V prvých a miskách je po jednom citróne a v posledných b miskách je po jednej limetke. V jednom ťahu vieme presunúť citrón z misky i do i+1 a limetku z j do j−1, ak rozdiel |i−j| je párny. V jednej miske môže byť naraz aj viac citrusov. Chceme dostať postupom týchto krokov limetky do prvých b misiek a citróny do posledných a misiek (do každej jeden citrus). Pre aké a, b je to možné?
Áno, 0 je párne číslo.
Matej Hanus, 27. november 2023 12:19:24
počítame 0 ako párne?
Ondrej Tóth, 27. november 2023 10:28:26
Čísla a a b sa môžu rovnať, to jest okrem všetkých ostatných aj tieto prípady treba posúdiť.
Matej Hanus, 25. november 2023 22:52:38
Môžu sa [a] a [b] rovnať?
Natália Poliačiková, 25. november 2023 18:16:29
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 4
Na chodbe sa rozbil kvetináč. Spýtali sme sa dvoch najbližších tried, kto rozbil kvetináč. Každý žiak obvinil práve jedného žiaka z tej druhej triedy. Dokážte, že vieme dať maslo na hlavu niektorým žiakom tak, že ak sa spýtame všetkých žiakov s maslom na hlave, povedia dokopy práve mená všetkých žiakov bez masla na hlave.
Áno, môžu.
Matej Hanus, 15. november 2023 12:45:48
Môžu dvaja rôzni žiaci obviniť toho istého žiaka?
Marek Horváth, 15. november 2023 12:36:43
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 5
Predĺženie ťažnice z A v trojuholníku ABC pretne opísanú kružnicu v D rôznom od A, predĺženie ťažnice z B ju pretne v E rôznom od B. F a G delia strany a a b v tomto poradí v pomere 2:1 tak, že kratšie úseky sú priľahlé k C. Dokážte, že uhly AGE a BFD sú zhodné.
Diskusia k zadaniu 2. séria - Zimný semester - príklad 6
Majme celé číslo c a polynóm P(x) stupňa n, ktorého koeficienty sú celé čísla. Označme D najväčšie celé číslo, pre ktoré platí, že D delí P(i) pre každé celé číslo i. Dokážte, že potom D je najväčší spoločný deliteľ čísel P(c), P(c+1), …P(c+n).
Newsletter
Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!
Ahoj! Má 4 kladných celých deliteľov. Prosím.
Ahoj,
pod "má 4 deliteľov" sa myslí 4 kladných alebo 4 celých deliteľov?
Vopred ďakujem za odpoveď!