Je dané reálne číslo $a > 0$ také, že nerovnosť $1 < ax < 2$ má $3$ celočíselné riešenia (pre neznámu $x$). Pre ktoré čísla $n \in \mathbb{N}_0$ sa môže stať, že nerovnosť $2 < ax < 3$ má práve $n$ celočíselných riešení? Nájdite všetky možnosti.

Trojuholník $ABC$ je vpísaný do kružnice $k$. Označme $D$, $E$, $F$ postupne priesečníky osí uhlov pri vrcholoch $A$, $B$, $C$ s kružnicou $k$. Dokážte, že $AD$ je kolmé na $EF$.

Nech $P$ je polynóm s celočíselnými koeficientami, pre ktorý platí, že $P(0)$ a $P(1)$ sú nepárne. Dokážte, že polynóm $P$ nemá žiaden celočíselný koreň.

Na konci školského roka sa zistilo, že z ľubovoľne zvolenej skupiny aspoň piatich študentov vieme vybrať najviac 20% študentov tejto skupiny, ktorí dostali spolu viac ako 80% známok F v tejto skupine. Dokážte, že aspoň 3/4 všetkých známok F dostal jeden študent.

Označme v trojuholníku $ABC$ ortocentrum $H$, stred vpísanej kružnice $I$, stred opísanej kružnice $O$. Ďalej označme $K$ bod dotyku vpísanej kružnice a strany $BC$. Dokážte, že ak priamka $IO$ je rovnobežná s priamkou $BC$, tak priamka $AO$ je rovnobežná s priamkou $HK$.

Nekonečnú postupnosť prirodzených čísel nazveme Šupapostupnosťou, ak pre každý člen počnúc tretím platí, že je súčtom dvoch predchádzajúcich členov. Existuje taký

• konečný
• nekonečný

Daný je obdĺžnik $ABCD$, $M$ a $N$ sú stredy strán $BC$ a $AD$. Na polpriamke $CA$ za bodom $A$ zvolíme bod $K$. Označme $L$ priesečník úsečiek $KM$ a $AB$. Dokážte, že $| \sphericalangle KNA | = |\sphericalangle LNA|$.

Nájdite všetky mocniny dvojky, z ktorých sa dá preusporiadaním číslic dostať iná mocnina dvojky. (Nuly na začiatku nie sú povolené, napr. 0032 nebudeme považovať za číslo.)

Nech $P$ je mnohočlen s celočíselnými koeficientami s vlastnosťou $P(a) = P(b) = P(c) = −1$, kde $a$, $b$, $c$ sú nejaké navzájom rôzne celé čísla. Dokážte, že polynóm $P$ nemá žiaden celočíselný koreň.

Máme kocku so stranou dlhou $n \in \mathbb{N}$, ktorá je postavená v súradnicovej sústave tak, že jeden jej vrchol je v bode $(0, 0, 0)$ a iný v bode $(n, n, n)$. Potrebujeme sa dostať z bodu $(0, 0, 0)$ do bodu $(n, n, n)$. Pohybovať sa môžeme len po povrchu kocky a len po úsečkách spájajúcich susedné body s celočíselnými súradnicami. (Dva body s celočíselnými súradnicami sú susedné, ak sa líšia len v jednej súradnici a tento rozdiel je 1.)

• Aká je dĺžka najkratšej takejto cesty z bodu (0, 0, 0) do bodu (n, n, n)?
• Koľko je rôznych najkratších ciest?

Daný je rovnoramenný trojuholník $ABC$, kde $|AB| = |AC|$. Označme $M$ stred úsečky $BC$. Nech $X$ je bod na kratšom oblúku $MA$ kružnice opísanej trojuholníku $ABM$. Nech $T$ je vnútorný bod uhla $BMA,$ pre ktorý $|\sphericalangle TMX| = 90^\circ$ a $|TX| = |BX|$. Dokážte, že hodnota rozdielu $|\sphericalangle MT B| − |\sphericalangle CTM|$ nezávisí na voľbe $X$.

Nech k, n sú prirodzené čísla, pričom k je nepárne. Dokážte, že súčet $1^k +2^k + \cdots + n^k$ je deliteľný súčtom $1 + 2 + \cdots + n$.