Zadania seminára STROM, 47. ročník - Zimný semester


Ak nevieš pohnúť ďalej s niektorou z úloh, skús sa pozrieť na pár tipov.
1. Majme trojuholník $ABC$. Stred strany $BC$ označme $E$ a stred strany $AC$ označme $D$. Aký je obsah trojuholníka $DEC$, ak $|CD| = 5$, $|DE|=5$ a $|AE|=8$?
2. Majme nezáporné reálne čísla $a$ a $b$, pre ktoré platí $a+b=1$. Dokážte, že platí: $$ \frac{1}{2} \leq \frac{a^3 + b^3}{a^2 + b^2} \leq 1$$ a nájdite všetky dvojice $(a,b)$, pre ktoré nastáva aspoň v jednej nerovnosti rovnosť.
3. Uvažujme šachovnicu o rozmeroch $k \times l$, kde $k$ a $l$ sú kladné celé čísla:
  1. Dokážte, že ak $k,l \geq 2$ a $kl$ je deliteľné 8, potom vieme šachovnicu pokryť kockami v tvare domina $2 \times 1$ tak, aby bol počet vodorovne uložených kociek rovný počtu zvislo uložených kociek.
  2. Dokážte tvrdenie aj opačným smerom, a teda, že ak vieme šachovnicu pokryť vyššie zmieneným spôsobom, potom musí platiť $k,l \geq 2$ a zároveň $kl$ je deliteľné 8.
4. Lienka sedí na čísle 0 na číselnej osi. Každú sekundu sa pohne doľava alebo doprava o vzdialenosť $2^{x-1}$, kde $x$ označuje, koľko sekúnd ubehlo od začiatku (teda po prvej sekunde sa pohne o 1, po druhej o 2, po tretej o 4, ...).
  1. Na ktoré čísla $n$ na číselnej osi vie lienka stúpiť?
  2. Pre ktoré čísla $n$ na číselnej osi platí, že existuje nekonečne veľa rôznych ciest (postupností pohybov lienky), ktorými sa lienka vie dostať na číslo $n$?
5. Majme trojuholník $ABC$. Na strane $AB$ zvoľme bod $X$ rôzny od $A$ a $B$. Priesečník dotyčnice v bode $X$ ku kružnici opísanej trojuholníku $XBC$ so stranou $AC$ označme $K$ a priesečník dotyčnice v bode $X$ ku kružnici opísanej trojuholníku $AXC$ so stranou $BC$ označme $L$. Dokážte, že $AB$ je rovnobežná s $KL$.
6. Existujú tri celé čísla $a$, $b$, $c$ také, že $a$ a $b$ majú práve 800 spoločných deliteľov, $a$ a $c$ majú práve 960 spoločných deliteľov a $a$, $b$ a $c$ majú práve 420 spoločných deliteľov?

Ak nevieš pohnúť ďalej s niektorou z úloh, skús sa pozrieť na pár tipov.
1. Majme kladné celé čísla $a$, $b$, $c$, pre ktoré platí, že $a^3+b^3+c^3$ je deliteľné 18-timi. Dokážte, že $abc$ je deliteľné 6-timi.
2. Nech \(ABCD\) je štvorec so stranou dlhou 1. Mimo neho majme body \(E\) a \(F\) také, že trojuholník \(CED\) je rovnostranný a trojuholník \(CFD\) je rovnoramenný s uhlami veľkosti 45 stupňov pri základni \(CD\). Označme priesečník úsečiek \(CF\) a \(BE\) ako \(G\) a priesečník úsečiek \(CD\) a \(BE\) ako \(H\).
  1. Aká je dĺžka úsečky \(CH\)?
  2. V akom pomere rozdeľuje bod \(G\) úsečku \(FC\)?
3. Miesta pri okrúhlom stole sú očíslované zaradom od 1 po $n$ tak, že 1 susedí na jednej strane s 2 a na druhej s $n$. K stolu si postupne príde sadnúť $n$ ľudí, pričom každý má priradené iné miesto. Na začiatku si však človek s miestom 1 sadol na ľubovoľné (nie nutne iné) miesto. Každý ďalší človek si už sadne na svoje miesto, prípadne na ľubovoľné najbližšie voľné miesto po obvode stola, ak je jeho miesto už obsadené. Na ktorých miestach môže sedieť človek s miestom $n$, ak zvyšní ľudia prichádzajú
  1. v poradí od najmenšieho čísla miesta po najväčšie, teda od 2 po $n$?
  2. v ľubovoľnom poradí?
4. Máme mriežku $7 \times 7$, ktorá má vyrezané všetky štyri rohové políčka.
  1. Koľko najmenej políčok musíme zafarbiť načierno tak, aby neexistoval biely 5-políčkový krížik?
  2. Dokážte, že do každého políčka vieme napísať celé číslo tak, aby súčet čísel v každom 5-políčkovom krížiku bol záporný, ale celkový súčet všetkých čísel v tabuľke bol kladný.
5. Dokážte, že pre každé celé číslo $n \geq 2$ a kladné reálne čísla $x_1, x_2, \dots, x_n$ platí $$ x_1+ 2x_2 + \dots + nx_n\leq \binom{n+1}{2} + x_1 + x_2^2+\dots+x_n^n$$
  1. v prípade, že $0<x_i \leq 1$ pre všetky $i \in \{1, ..., n \}$,
  2. pre ľubovoľné hodnoty $x_i$.
6. Neprázdna množina $M \subseteq \mathbb{Z}$ je Mihálova, ak spĺňa podmienku: Ak $x, y \in M$ (aj pre $x = y$), potom aj $x^2 + zxy + y^2 \in M$ pre všetky $z \in \mathbb{Z}$. Nájdite všetky dvojice nenulových celých čísel $m, n$ (vrátane prípadov $m = n$) také, že jediná Mihálova množina obsahujúca aj $m$ aj $n$ je $\mathbb{Z}$.

Newsletter

Nenechajte si ujsť akcie, ktoré chystáme a odoberajte náš newsletter!